de ABC formule

De ABC- formule geeft de nulpunten van een willekeurige kwadratische vergelijking
(grafiek: parabool)

y = ax² + bx + c

In dit artikel worden twee afleidingen van de ABC-formule gegeven.

Inleiding
Een eenvoudiger vorm van een kwadratische vergelijking ontstaat voor b = 0:

y = ax² + c

De nulpunten ( y = 0)

ax² + c = 0
x = +-

\

−c a

Voorbeeld
We bepalen de nulpunten van y = 0,125x² - 18

0125x² - 18 = 0
x² = 144
x = 12 .............of...
x = -12

Voor het geval c = 0 is het ook niet moeilijk de nulpunten te vinden.
De vergelijking gaat dan over in

y = ax² + bx ..................zodat
ax² + bx = 0
x(ax + b) = 0
of
x = 0
of
ax + b = 0
x = 

−b

a

Voorbeeld
We bepalen de nulpunten van y = x² - 7x

x² - 7x = 0
x(x - 7) = 0
x = 0 .............of...
x - 7 = 0
x = 7

Afleiding 1...(kwadraat afsplitsen)
Bekijk de vergelijking

y = x² + 2x + 1

Deze is te herschrijven tot

y = (x+1)²

Het nulpunt is eenvoudig te bepalen

(x+1)² = 0
x + 1 = 0
x = -1

Er is maar 1 snijpunt, de parabool raakt de x-as.

Neem nu

y = x² + 2x - 3

Hier is geen sprake van een kwadraat zoals hiervoor,
maar dat kwadraat kunnen we wel "inbakken"

y = x² + 2x + 1 - 1- 3.....zodat
y = (x+1)² - 4

Eenmaal in deze vorm zijn de nulpunten als volgt te bepalen:

(x+1)² - 4 = 0
(x+1)² = 4
of
x+1 = 2
x = 1
of
x+1 = -2
x = -3

Deze methode heet "kwadraat afsplitsen".

Het komt erop neer, dat we de kwadratische vergelijking schrijven in de vorm

y = (x + p)² + q
of
y = x² + 2px + p² + q

De term p² moet worden toegevoegd om het kwadraat te verkrijgen, maar
p² moet direct weer worden afgetrokken om de vergelijking niet te veranderen.

Voorbeeld
Bekijk

x² - 7x + 2 = 0

De factor -7 voor de x staat voor 2p, zodat

2p = -7
p =

−7

2


p² =

49

4

De vergelijking schrijven we nu in de vorm

x² -7x +

49

4

-

49

4

+ 2 = 0
vereenvoudigd
(x -

7

2

)² =

41

4

Zodat de oplossingen zijn:

x − 

7

2

 = 

−1

2

 

\

41


x = 

7

2

 − 

1

2

 

\

41


of
x − 

7

2

 = 

1

2

 

\

41


x = 

7

2

 + 

1

2

 

\

41

Nu dan de algemene oplossing van ax² + bc + c = 0

Delen door a levert:

x ² + 

b

a

 x + 

c

a

 = 0

daarbij is

2 p = 

b

a


p = 

b

2 a


p ² = 

b 2

4 a 2

Zodat de vergelijking met afgesplitst kwadraat geschreven moet worden als

x ² + 

b

a

 x + 

b 2

4 a 2

 − 

b 2

4 a 2

 + 

c

a

 = 0
of


	2
æ x +  b 2 a ö ­ ­ è ø

 = 

b 2

4 a 2

 − 

c

a




	2
æ x +  b 2 a ö ­ ­ è ø

 = 

b 2 − 4 a c

4 a 2

De oplossingen zijn

x +  b 2 a

=

− \ b 2 − 4 a c 4 a 2




x =  −b −  \ b 2 − 4 a c 2 a


of
x + 

b

2 a

 = 

\ b 2 − 4 a c

2 a





x =  −b +  \ b 2 − 4 a c 2 a

Opmerkingen

- de nulpunten liggen symmetrisch t.o.v. de as x =

b

2 a


- D = b² - 4ac heet de "discriminant
- voor D < 0 zijn er geen nulpunten
- voor D = 0 is er 1 nulpunt, de parabool raakt de x-as
- voor D > 0 zijn er 2 nulpunten

Afleiding 2...(translatie)
Als in een vergelijking x consequent wordt vervangen door (x+1) dan zal de grafiek 1 naar links schuiven.

Neem een algemene vergelijking

......x......y...... = .....x.....y.......

waarbij de puntjes ............ staan voor getallen en bewerkingen.
Stel eens, dat de vergelijking klopt voor x = 3 en y = 10, dus het punt (3,10) ligt op de grafiek.

Nu vervangen we (x) door (x+1), zodat

........(x+1)....y...........= .......(x+1).........y...........

Nu zal de vergelijking kloppen voor (x+1) = 3 en y = 10, oftewel voor het punt (2,10).
De grafiek is 1 plaats naar links geschoven.

Algemeen

Als in een vergelijking (x) wordt vervangen door (x+h)
dan
zal de grafiek een afstand h naar links schuiven

nu beschouwen we de algemene vergelijking

y = ax² + bx + c

weglaten van c levert alleen vertikale verschuiving op.
De nulpunten zijn dan, zoals hiervoor beschreven, eenvoudig te vinden

ax² + bx = 0
x(ax + b) = 0
x = 0
of
ax + b = 0
x =

−b

a

Het punt tussen de 2 nulpunten is x =

−b

2 a

en we verschuiven de grafiek over deze afstand, zodat dit middelpunt op de oorsprong terechtkomt.
Er geldt dus

h =

−b

2 a

De oorspronkelijke vergelijking gaat dan over in

y = a 

	2
æ x −  b 2 a ö ­ ­ è ø

 + b 

æ	x −  b 2 a	ö
­		­
è		ø

 + c
y = a 

æ	x 2 −  b a  x +  b 2 4 a 2	ö
­		­
è		ø

 + b x − 

b 2

2 a

 + c
y = a x ² − b x + 

b 2

4 a

 + b x − 

b 2

2 a

 + c
y = a x ² + 

b 2

4 a

 − 

b 2

2 a

 + c
y = 

4 a 2 x 2

4 a

 + 

b 2

4 a

 − 

2 b 2

4 a

 + 

4 a c

4 a


y = 

4 a 2 x 2 − b 2 + 4 a c

4 a

Merk op:
deze formule is van het type y = Ax² + B, de y-as is de symmetrie-as
Daar volgt uit, dat x = 

−b

2 a

de symmetrie-as is van de oorspronkelijke vergelijking.

Van de horizontaal verschoven grafiek zijn de nulpunten

4 a ² x ² − b ² + 4 a c = 0
4 a ² x ² = b ² − 4 a c
x ² = 

b 2 − 4 a c

4 a 2


zodat
x = 

− \ b 2 − 4 a c

2 a


of
x = 

\ b 2 − 4 a c

2 a

Resteert, de gevonden nulpunten weer terug te schuiven,
dat doen we door x te vervangen door (x-h) = (x+

b

2 a

)
zodat

x₁₂ = 

−b + − \ b 2 − 4 a c

2 a

Wat in overeenstemming is met de uitkomst van methode-1

---

OneStat