In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c
geldt:
a2 + b2 = c2
Deze formule is bekend als de "Stelling van Pythagoras", een van de bekendste
stellingen uit de wiskunde.
Als a en b gehele getallen zijn, dan volgt daar niet uit dat c ook een geheel
getal is. Meestal zal dat zelfs niet het geval zijn.
Als voor een drietal gehele getallen a,b en c de formule wel klopt, dan noemen we
a,b en c een "Pythagoras Drietal".
Bekende drietallen zijn:
a
b
c
want
3
4
5
32 + 42 = 52
5
12
13
52 + 122 = 132
De vraag is nu, of er nog meer 3-tallen zijn.
Uit 3-tal (3,4,5) volgt, dat (6,8,10) ook een drietal is, maar dat is flauw.
We gaan op zoek:
noem
a2 +
b2 = c2
b2 = c2
- a2 = (c - a)(c + a)
c - a = x2
c + a = y2
dan is
b2 = x2y2 = (xy)2
en
b = xy
Nu lossen we de stelsels op:
{
c - a
=
x2
c + a
=
y2
2c
=
x2 + y2
c
=
x2 + y2 2
{
c - a
=
x2
c + a
=
y2
-2a
=
x2 - y2
a
=
y2 - x2 2
De formule a2 + b2 = c2 is nu verbouwd tot
(
y2 - x2 2
)
2
+ (xy)2 =
(
y2 + x2 2
)
2
Ter vereenvoudiging vermenigvuldigen we alle termen met 4, zodat
(
y2 - x2
)
2
+ (2xy)2 =
(
y2 + x2
)
2
Voor elk getallenpaar (x,y) is nu een Pythagoras drietal (a,b,c) te berekenen.
x
y
a
b
c
1
2
3
4
5
1
3
8
6
10
2
3
5
12
13
3
4
7
24
25
a = y2 - x2
b = 2xy
c = x2 + y2
Met deze formule kunnen alle drietallen worden verkregen.
Vragen:
1. Hoe kan je controleren of een gevonden drietal "nieuw" is of door
vermenigvuldiging van een lager drietal is afgeleid?
