Pythagoras drietallen

Dit artikel is verplaatst naar "www.davdata.nl"
U wordt doorgeschakeld.....




In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c geldt:

a2 + b2 = c2

Deze formule is bekend als de "Stelling van Pythagoras", een van de bekendste
stellingen uit de wiskunde.
Als a en b gehele getallen zijn, dan volgt daar niet uit dat c ook een geheel
getal is. Meestal zal dat zelfs niet het geval zijn.
Als voor een drietal gehele getallen a,b en c de formule wel klopt, dan noemen we
a,b en c een "Pythagoras Drietal".
Bekende drietallen zijn:
abcwant
34532 + 42 = 52
5121352 + 122 = 132

De vraag is nu, of er nog meer 3-tallen zijn.
Uit 3-tal (3,4,5) volgt, dat (6,8,10) ook een drietal is, maar dat is flauw.

We gaan op zoek: noem
a2 + b2 = c2
b2 = c2 - a2 = (c - a)(c + a)
c - a = x2
c + a = y2
dan is b2 = x2y2 = (xy)2
en b = xy

Nu lossen we de stelsels op:
{c - a = x2
c + a = y2
2c = x2 + y2
c = x2 + y2
2
{c - a = x2
c + a = y2
-2a = x2 - y2
a = y2 - x2
2

De formule a2 + b2 = c2 is nu verbouwd tot

(y2 - x2
2		 )2 + (xy)2 = (y2 + x2
2		 )2


Ter vereenvoudiging vermenigvuldigen we alle termen met 4, zodat

(y2 - x2 )2 + (2xy)2 = (y2 + x2 )2


Voor elk getallenpaar (x,y) is nu een Pythagoras drietal (a,b,c) te berekenen.

xyabc
12345
138610
2351213
3472425
a = y2 - x2
b = 2xy
c = x2 + y2


Met deze formule kunnen alle drietallen worden verkregen.

Vragen:
1. Hoe kan je controleren of een gevonden drietal "nieuw" is of door
vermenigvuldiging van een lager drietal is afgeleid?

2. Zoek alle drietallen met b = 28.

3. Zoek alle drietallen met a = 15.