 |
Bladzijden vouwen |
Dit artikel is verplaatst naar
www.davdata.nl
U wordt doorgeschakeld.....
Inleiding
Reizigers gebruiken hun reis- of wachttijd vaak om een boek te lezen.
Veel van die boeken hoeven niet te worden bewaard en er is dus geen reden om er
zuinig mee om te gaan.
Het boek zal zelden in één aaneengesloten periode worden uitgelezen.
Daarom dient te worden aangegeven tot welke bladzijde de lezer in het boek is gevorderd.
Dat kan op een paar manieren:
1.de gelezen bladzijden worden uit het boek gescheurd.(aan te bevelen voor wandelaars)
2. na de laatst gelezen pagina wordt een bladwijzer ingeklemd (nadeel: die kan wegraken)
3. de laatst gelezen bladzijde wordt naar binnen gevouwen, zodat een driehoekje uitsteekt
Wij bevelen methode 3 aan, zie figuur 1 hieronder.
|
| figuur 1 |
Hoekpunt B van bladzijde ABCD is naar binnen gevouwen, zodat punt B nu punt B'
is geworden en C is verplaatst naar C'.
Zodoende steekt nu een (hier rood of blauw gekleurd) driehoekje uit.
De grootte hiervan wordt bepaald door de afmetingen van de bladzijde en de keuze van B'
dus de afstand AB'.
Nu dient zich echter een probleem aan :
gegeven de breedte en hoogte van de bladzijde, wat is dan
de lengte AB' voor maximale grootte van het driehoekje dat uitsteekt?
Een formule voor de oppervlakte van dit driehoekje is handig.
Door de grafiek daarvan te tekenen kan het maximum worden afgelezen.
De Formule
|
| figuur 2 |
Bladzijde ABCD heeft breedte AB = b en hoogte BC = h
We gaan uit van AG = x
In DGBT is TF middelloodlijn, zodat
- EG = EB = p
- FM = ......
en BM =
Immers: F is het midden van BG.
Verder stellen we:
- HI = r
- IK = q
- EG = BE = p
- TC = TI = z
Als we de oppervlakte van ABCD schrijven als [ABCD]
dan moeten we dus de formule bepalen:
We beginnen de waarde van p te berekenen als functie van x.
Toepassing van de stelling van pythagoras in DAEG:
x 2 + (b − p) 2 = p 2
x 2 + b 2 − 2 b p + p 2 = p 2
2 b p = b 2 + x 2
p =
................1)
Nu geldt:
DGET »DIHT.....zodat:
=
r =
.............2)
En wegens DFMT »DHCT :
r =
..........3)
Combineren ...2) en ...3) :
=
=
b (z + h) = p (2 z + 2 h − x)
b z + b h = 2 p z + 2 h p − p x
b z − 2 p z = 2 h p − p x − b h
z (b − 2 p) = 2 h p − p x − b h
z =
Met ....1) kan nu p worden verwijderd:
z = | 2 h (b 2 + x 2) − (b 2 + x 2) x − 2 b 2 h |
| 2 b 2 − 2 (b 2 + x 2) |
z = | 2 b 2 h + 2 h x 2 − b 2 x − x 3 − 2 b 2 h |
| 2 b 2 − 2 b 2 − 2 x 2 |
z = | 2 h x 2 − b 2 x − x 3 |
| −2 x 2 |
z =
..............4)
zodat:
z + h = | b 2 + x 2 − 2 h x + 2 h x |
| 2 x |
z + h =
.............5)
Om r te berekenen substitueren we z en p in .............2):
r = | (b 2 + x 2) (b 2 + x 2 − 2 h x) |
| (b 2 + x 2 − 2 h x + 2 h x) · 2 b |
r = | (b 2 + x 2) (b 2 + x 2 − 2 h x) |
| 2 b (b 2 + x 2) |
r =
..............6)
Om q te berekenen gaan we uit van
DGDK »DHIK, zodat
= =
q =
............7)
Ook geldt:
DAEG »DDGK, zodat
= =
=
D K =
Invullen in .............7)
q = ·
q =
p invullen:
q =
q =
2[HIK] = qr =
........6) substitueren voor r:
2[HIK] = | x (b 2 + x 2 − 2 h x) 2 |
| 2 b (b 2 − x 2) |
[HIK] = | x (b 2 + x 2 − 2 h x) 2 |
| 4 b (b 2 − x 2) |
.................8)
Voorbeeld
We gebruiken het grafiekenprogramma "Graphics-Explorer" om de formule te tekenen.
(Download dit programma [hier])
Omdat dit programma alleen werkt met constanten a,b,c en variabelen x,y nemen we
voor de hoogte h = a, breedte b blijft b, x blijft x en [HIK] = y
zodoende geldt:
y = x(b^2+x^2-2a*x)^2/(4b(b^2-x^2))
Een boek heeft bladzijden van 13cm breed en 19cm hoog.
|
| figuur 3 |
Rek de schaal zowel horizontaal als vertikaal wat op met de < > knoppen.
Verplaats de oorsprong naar linksonder (met de pijltjes knoppen).
We zien, dat voor ongeveer x = 1,6cm het uitstekende driehoekje de maximale oppervlakte heeft.
Door "Graphics-Exporer" in te stellen op autoplot en vervangen kan de afmeting van een bladzijde
met een muisklik worden veranderd, waarna meteen de aangepaste grafiek wordt getekend.
Opgave
1.
Een andere eis van de reiziger kan natuurlijk zijn, dat een driehoekje zover mogelijk uitsteekt.
Bereken in dat geval de bijbehorende formule voor de hoogte.
2.(wat kennis van differentiaalrekening vereist)
Differentieer formule .............8) naar x en stel die afgeleide = 0 om x te vinden
voor een maximale oppervlakte.
succes!
