de PIZZA stelling door David E. Dirkse en Elias C. Buissant des Amorie

Wat is de "PIZZA" - stelling?
Dit artikel gaat over algebra, meetkunde en een beetje differentiaalrekening.
Bekijk eens figuur 1 hieronder.

fig.1

M is het middelpunt van een -cirkelvormige- pizza.
P is een willekeurig punt binnen de cirkel.
A,B,C,...,H zijn punten op de cirkel.
AE is een willekeurige lijn door P.
Verder geldt:
AE ^ GC , BF ^ DH, LAPB = 45^o
De cirkel heeft een straal r.

De "PIZZA" stelling luidt:

de oppervlakten van de wel- en niet-gearceerde delen zijn gelijk.

In dit artikel wordt deze stelling bewezen.
Het bewijs bestaat uit de volgende stappen:

1. een hulpstelling : AP² + CP² + EP² + GP² = 4r²
2. we tonen aan, dat de grootte van de gearceerde oppervlakte niet verandert als A,B,C,..,H verschuiven

Vergelijk fig.1 en fig.2 :
Een gevolg van de stelling is, dat de gearceerde oppervlakten in beide figuren gelijk zijn.

fig.2

Bij 45^o verdraaiing zijn de wel- en niet-gearceerde delen dan van plaats verwisseld.
Zodat hun oppervlakten even groot zijn.

De hulpstelling
Zie figuur 3:

fig.3

Toepassing van de stelling van Pythagoras:

AG² = AP² + GP²
CE² = CP² + EP²

We spiegelen A in punt M, dat levert punt A'.
Wegens lijnsymmetrie:

A'G = CE

LAGA' staat op de halve cirkelboog, zodat (stelling van Thales)

LAGA' = 90^o en (Pythagoras):
(AA')² = AG² + A'G²

Alles combinerend:

(AA')² = AP² + GP² + A'G²
(AA')² = AP² + GP² + CE²
(AA')² = AP² + GP² + CP² + EP²

Oftewel:

AP² + GP² + CP² + EP² = (2r)²

Het bewijs
Zie figuur 4:

fig.4

Alle lijnen draaien met een kleine hoek Dj
Daardoor verschuift punt A naar A', B naar B', C naar C', enzovoorts.

Het gearceerde cirkelsegment bij A zal hierdoor iets in grootte veranderen.
Er gaat iets af: dat is met de kleur rood aangegeven.
Er komt ook iets bij: dat is met de kleur groen aangegeven.

Eenzelfde verhaal geldt voor de andere gearceerde cirkelsegmenten.
De gearceerde oppervlakte O is een functie van de draaihoek j

O = f(j)

We beschouwen een vergroting van zo'n verandering van een segment: (fig.5)

fig.5

In fig.5 is de hoogte h van DPC'C

h = PC.sin(j)

zodat:

O = 0,5.PC'.PC.sin(j)

We differentiëren O naar de draaihoek j

O' = 

lim	0.5 (P C) (P C') ·  sin (D j) D j
D j → 0

zodat:

O' = 0,5.PC²

Immers:

lim	sin (D j) D j
D j → 0

 = 1
en PC' nadert tot PC

Als O de som is van alle gearceerde delen dan is:

O' = -0,5PA² + 0,5PB² - 0,5PC² + 0,5PD² - 0,5PE² + 0,5PF² - 0,5PG² + 0,5PHA²
O' = 0,5(PB² + PD² + PF² + PH² - (PA² + PC² + PE² + PG²))

maar volgens de hulpstelling is:

PA² + PC² + PE² + PG² = (2r)²

en dus ook:

PB² + PD² + PF² + PH² = (2r)²

zodat : O' = 0

Maar dan moet gelden: O = constant

De grootte van het gearceerde deel is dus constant, onafhankelijk van de draaiing.

Bij draaiing over 45^o zijn de wel- en niet-gearceerde delen verwisseld.
Deze delen zijn dus altijd gelijk.

Hiermee heb je een ludieke manier in handen om een pizza eerlijk in tweeën te delen.

Eet smakelijk!

---

OneStat