Meetkunde puzzel met 3 oplossingen

Opgave
Hieronder staat getekend een vierkant met vier overlappende cirkelsegmenten.
De hoekpunten zijn de middens van de cirkelbogen.
De afmetingen van het vierkant zijn 1 * 1.

Bereken de oppervlakte van het middelste (gekleurde) deel.
Laat in het antwoord de constante p en wortels staan.

Oplossing 1.
We schieten met kanonnen op muggen en gebruiken de integraalrekening.

Een kwart van de gevraagde oppervlakte is het gebied FCG, dat gelijk is aan
gebied DECG - DECF.

Met de oorsprong in A is de functie van de cirkelboog:

y = 

\

1 − x 2


en


ó õ \ 1 − x 2  dx

=

x 2   \ 1 − x 2  +  1 2  ·  arcsin x + C

Nu is AD =

1

2

En AE =

1

2

 

\

3

zodat: (verschil boven- en ondergrens, AE - AD)

oppervlakte DECG =

1 4   \ 3   \ 1 −  3 4  +  1 2  ·  arcsin æ 1 2   \ 3 ö ­ ­ è ø  −  1 4   \ 1 −  1 4

−

1 2  ·  arcsin æ 1 2 ö ­ ­ è ø


oppervlakte DECG =

1

8

 

\

3

 + 

1

2

 · 

p

3

 − 

1

8

 

\

3

 − 

1

2

 · 

p

6

 = 

p

12


met
DE =

1

2

 

\

3

 − 

1

2


FD =

1

2


is
oppervlakte DECF =

1

4

 

\

3

 − 

1

4

zodat oppervlakte gebied FCG =

p

12

 − 

1

4

 

\

3

 + 

1

4

en het oorspronkelijk te berekenen gebied is het viervoudige:

1 + 

p

3

 − 

\

3

Oplossing 2.
Bekijk de figuur hieronder:

LRSM = 45⁰
LRSP = 60⁰, want P en S vormen gelijkzijdige driehoek met hoekpunt linksonder
zodat
LMSP = 15⁰
LQSP = 30⁰

De oppervlakte van cirkelsegment QSP =

30

360

 p = 

p

12

Oppervlakte DMSP = 0,5*PM * RS

met RS =

1

2

.....en PM =

1

2

 

\

3

 − 

1

2

......is

oppervlakte DMSP =

1

8

 

\

3

 − 

1

8


en
oppervlakte DMSP + DMSQ =

1

4

 

\

3

 − 

1

4

Een kwart van de gevraagde oppervlakte is nu

p

12

 − 

æ	1 4   \ 3  −  1 4	ö
­		­
è		ø

De gehele oppervlakte, omsloten door de 4 cirkelbogen:

1 + 

p

3

 − 

\

3

Oplossing 3.
(oplossing E.C.Buissant des Amorie)

4x+4y+z=1	2x+3y+z= p 4	x+2y+z=2 ·  p 6  −  1 4   \ 3

Opmerking : in de rechter figuur is

1

4

 

\

3

...de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek.
Deze is dubbel gerekend bij optelling van de cirkelsegmenten.

Het volgende stelsel vergelijkingen moet dus worden opgelost:

­	­	x + 2 y + z =  p 3  −  1 4   \ 3 2 x + 3 y + z =  p 4 4 x + 4 y + z = 1
­

Regel (1) *4 , regel (3)*-1 en optellen:
Regel (2)*2, regel (3)*-1 en optellen:

­	­	4 y + 3 z =  4 3  p −  \ 3  − 1 2 y + z =  p 2
­

Nu regel (2)*-2 en optellen:

z =

p

3

 − 

\

3

 + 1

---

OneStat