de stelling van Stewart

Inleiding
Dit artikel gaat over berekeningen aan driehoeken.
Het zijn toepassingen van algebra en meetkunde.
Achtereenvolgens worden behandeld:

- de projectiestelling
- de stelling van Stewart
- de zwaartelijnformule
- de deellijnformule
- de straal van de omgeschreven cirkel
- de straal van de ingeschreven cirkel
- de straal van een aangeschreven cirkel

de Projectiestelling
Bekijk de figuur hieronder:

toepassing van de stelling van Pythagoras levert:

a² = h² + (c - p)²
a² = b² - p² + c² - 2cp + p²
a² = b² + c² - 2cp

de Projectiestelling:

a2 = b2 + c2 - 2cp

Opmerking: Als punt D op het verlengde ligt van AB, dan verandert -2cp in +2cp.
De lezer mag dit zelf nagaan.
p is de projectie van b op c. Vandaar de naam.

de stelling van Stewart (1746)
zie figuur hieronder:

P is een willekeurig punt op basis AB.
P verdeelt AB in lijnstukken c₁ en c₂.

De stelling van stewart berekent de lengte van CP, uitgaande van de
lengten van de zijden (a,b,c) van de driehoek.

Toepassing van de Projectiestelling in driehoeken APC en ABC :

­	­	C P 2 = b 2 + c1 2 − 2 c1 p a 2 = b 2 + c 2 − 2 c p
­

vermenigvuldig nu de bovenste vergelijking met (c) en de onderste met (c₁):

­	­	c C P 2 = b 2 c + c c1 2 − 2 c c1 p c1 a 2 = b 2 c1 + c1 c 2 − 2 c c1 p
­

Trek de onderste vergelijking af van de bovenste:

c C P ² − c₁ a ² = b ² c − b ² c₁ + c c₁ ² − c₁ c ²

c C P ² = c₁ a ² + b ² c − b ² c₁ + c c₁ ² − c₁ c ²

c C P ² = c₁ a ² + b ² (c₁ + c₂) − b ² c₁ + c c₁ ² − c₁ c ²

c C P ² = c₁ a ² + c₂ b ² + c c₁ (c₁ − c)

c C P ² = c₁ a ² + c₂ b ² + c c₁ (c₁ − c₁ − c₂)

c C P ² = c₁ a ² + c₂ b ² − c c₁ c₂

dit is de stelling van Stewart:

c.CP2 = c1a2 + c2b2 - 2c.c1.c2

de Zwaartelijnformule
Als P het middelpunt is van AB, dan is CP een zwaartelijn van driehoek ABC.
Voor c₁ = c₂ en CP = Z_c gaat de stelling van Stewart over in:

c Z_c ² = 

c

2

 a ² + 

c

2

 b ² − c · 

c

2

 · 

c

2

Z_c ² = 

a 2

2

 + 

b 2

2

 − 

c 2

4

Zc 2 =  a 2 2  +  b 2 2  −  c 2 4

de Deellijnformule
CP deelt hoek C middendoor.
Eerst een stelling uit de meetkunde, om het verband tussen a,b en c₁,c₂ aan te geven.

Zie de figuur hieronder:

Gegeven:

DABC
CD deelt LC middendoor.

te bewijzen:

In een driehoek verdeelt een deellijn de overstaande zijden in stukken, die zich
verhouden als de aanliggende zijden:
AD : DB = AC : BC

Bewijs:

verleng BC
trek AF || CD en
EC || AB
wegens evenwijdigheid van lijnen geldt:
LC₁ = LA₁
LC₂ = LF
zodat

LF = LA₁
in een driehoek liggen tegenover gelijke hoeken gelijke zijden zodat
AC = FC
wegens gelijkvormigheid van DECF en DDBC

EC : DB = FC : BC
omdat ADCE een ruit is geldt:

EC = AD
zodat:

AD : DB = FC : BC
en omdat FC = AC
AD : DB = AC : BC

Terug naar de deellijnformule.

Uit

a

b

 = 

c2

c1

volgt:

ac₁ = bc₂

de stelling van stewart

c C P ² = c₁ a ² + c₂ b ² − c c₁ c₂

gaat over in

c C P ² = a b c₂ + a b c₁ − c c₁ c₂

en

c C P ² = a b (c₁ + c₂) − c c₁ c₂

C P ² = a b − c₁ c₂

De deellijnformule luidt

C P 2 = a b − c1 c2

Als c₁ en c₂ niet bekend zijn, volgt uit:

­	­	a c1 = b c2 c1 = c − c2
­

dat

c₁ = 

b c

a + b


c₂ = 

a c

a + b

c₁ en c₂ invullen in de deellijnformule levert

C P ² = 

4 a b

(a + b) 2

 s (s − c)

hierbij is s de halve omtrek van driehoek ABC.
Het rekenwerk wordt aan de lezer overgelaten.

de Straal van de omgeschreven cirkel
eerst een hulpstelling:

Als twee driehoeken een hoek gelijk hebben, dan verhouden hun oppervlakten zich
als het product van hun zijden om die hoek.

Zie de figuur hieronder:

DABC en DADE hebben LA gemeenschappelijk.

opp.DABC : opp.DADC = (p.AB) : (p.AD) = AB : AD
opp.DADC : opp.DADE = (q.AC) : (q.AE) = AC : AE

vermenigvuldigen met AC en met AD levert:

AB : AD = (AB.AC) : (AD.AC)
AC : AE = (AD.AC) : (AD.AE)

zodat

opp.DABC : opp.DADE = (AB.AC) : (AD.AE)

Bekijk de figuur hieronder:

M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van DABC.

Nu is, volgens de stelling van Thales:

LDMB = 0,5*LAMB = LC

zodat:

opp.DABC : opp.DDMB = (AC.BC) : (DM.BM)

maar ook:

opp.DABC : opp.DDMB = (

c

2

 h ) : (

c

4

 D M )

omdat

BM = R {de straal}
AC = b
BC = a
AB = c

volgt:

a b D M.R

=

c 2  h c 4  D M

en

R = 

a b

2 h

Nu is opp.DABC = 0,5hc, zodat

h = 2*opp.DABC / c en

de straal R van de omgeschreven cirkel wordt:

R = (abc) / (4 * opp.DABC)

de straal van de Ingeschreven cirkel
Zie de figuur hieronder:

2 * opp.DABC = ar + br + cr = r(a + b + c)

zodat:

r = opp.DABC / s

Opmerking: s is de halve omtrek van de driehoek.

de straal van de Aangeschreven cirkel
zie de figuur hieronder:

De straal r_a is

ra = opp.DABC / (s -a)

waarbij:

BC = a
AC = b
AB = c
(a + b + c) / 2 = s

Het bewijs wordt aan de lezer overgelaten.

Voor wie zelf aan de slag wil:

r, r_a , r_b , r_c zijn de in- en aangeschreven cirkels van DABC.

bewijs dat:

1. o p p.A B C = 

\	r ra rb rc

2.

1

r

 = 

1

ra

 + 

1

rb

 + 

1

rc

---

OneStat