| Snijdende Vlakken |
 |
Als vlakken elkaar snijden ontstaan hoeken.
Dit artikel beschrijft de berekening van die hoeken.
Een toepassing hiervan is de instelling van zaagbanken als van planken een piramide
of andere ruimtelijke, niet rechthoekige, vorm wordt gebouwd.
Zie figuur 1.
 |
| fig.1 |
We gaan uit van een xyz-assenstelsel.
Aanvankelijk liggen twee vlakken in het xy-vlak.
Het gekleurde vlak draait nu om de x-as met een hoek b
vlak OABC draait om de y-as met een hoek a
Het gekleurde vlak rust tegen OABC en voor een naadloze aansluiting moet OABC op maat
worden gezaagd.
Ten eerste moet LAOC = c worden berekend
zie figuur 2.
 |
| fig.2 |
Daarna moet de rand van plank OABC worden afgeschuind onder een hoek d
Zie figuur 3.
 |
| fig.3 |
De berekening van c
Zie figuur 4.
 |
| fig.4 |
Gegeven is
We stellen dat
DG = b ................ zodat .......... b = tan(b)
DB = CE = a ......zodat ........... a = tan(a)
Omdat LOHC = 90o berekenen we tan(c) = CH / OH
Pythagoras in DHEC:
Bekijk DEFC
tan(b) = b = a / EF .......zodat .......EF = OH = a / b
tan(c) =
Deze formule is nog te vereenvoudigen, zie figuur 5
 |
| fig.5 |
Als tan(a) = a ...... dan ......sin(a) =
zodat
De berekening van d
Als de vlakken van figuur 1 in het xy-vlak liggen, dan is de z-as de normaal (staat loodrecht op vlakken).
Als de vlakken verdraaien, dan draait ook de normaal.
We geven de normaal de lengte 1, voor het gemak.
Zie figuur 6.
 |
| fig.6 |
Gegeven is de normaal
Bekijk DPOQ
d = LPOQ, de hoek tussen de normalen, dus ook de hoek tussen de vlakken.
PS = OU = sin(a)
OV = SX = sin(b)
PU = XV = cos(a)
QX = QV - VX = cos(b) - cos(a)
Pythagoras in DPSX
Pythagoras in DPXQ
PQ2 = sin2(a) + sin2(b) + (cos(b) - cos(a))2
PQ2 = 2 - 2cos(a).cos(b)
Als laatste nu de cosinusregel toepassen in DPOQ
PQ2 = OP2 + OQ2 - 2.OP.OQ.cos(d)
2 - 2cos(a).cos(b) = 2 - 2.cos(d)
cos(d) = cos(a).cos(b)
