de Volgcurve of Achtervolgingskromme

In figuur 1. hieronder is getekend een zg. "volgcurve" of ook wel genoemd "achtervolgingskromme".

fig.1

Op tijdstip 0 staat een hond in (0,0) en zijn baas in (10,0).
De baas loopt met constante snelheid naar boven evenwijdig aan de y-as.
De hond loopt, eveneens met constante snelheid, steeds recht op zijn baas af.
De baan (curve) van de hond is rood getekend.
De verhouding "snelheid hond : snelheid baas" is hier 2 : 1

Gevraagd wordt de vergelijking van deze volgcurve, die de vorm heeft: ...y = ... x ....

Merk op :

d y

d x

... is dus de richting (richtingscoëfficiënt) waarin de hond loopt.

Laat op tijdstip 0 de hond vertrekken uit punt (0,0) en de baas uit (a,0).
Na enige tijd heeft de baas een afstand b gelopen en bevindt zich in punt (a,b).
De hond is dan aangekomen in punt H(x,y).
Zie figuur 2.

fig.2

Uit de figuur volgt:

d y

d x

 = 

B C

H C

 = 

b − y

a − x

zodat:

b = y + (a − x) · 

d y

d x

en

d b

d x

 = 

d y

d x

 + (a − x) · 

d 2 y

d x 2

 − 

d y

d x




d b

d x

 = (a − x) · 

d 2 y

d x 2

Laat s de afgelegde weg van de hond zijn.
Omdat de baas v * sneller loopt dan zijn hond geldt:.......

ds = v^-1db

zodat

d s

d x

 = v ⁻¹ (a − x) · 

d 2 y

d x 2


d s = v ⁻¹ (a − x) · 

d 2 y

d x 2

 d x ...........................[1]

We beschouwen het stukje ds van de curve, die de hond vanuit H aflegt.
Er geldt:

(ds)² = (dx)² + (dy)²
(d s) ² = (d x) ² 

æ	1 +  2 æ d y d x ö ­ ­ è ø	ö
­		­
è		ø




d s

=

\ 1 +  2 æ d y d x ö ­ ­ è ø   d   x

...........................[2]

Combinerend [1] & [2]:

\ 1 +  2 æ d y d x ö ­ ­ è ø   d   x

=

v −1 (a − x) ·  d 2 y d x 2  d x

Stel

d y

d x

 = p , zodat

\

1 + p 2

 = v ⁻¹ (a − x) · 

d p

d x




d p \ 1 + p 2

=

v. d x a − x

Deze differentiaalvergelijking heeft als oplossing:

ln

æ	p +  \ 1 + p 2	ö
è		ø

 = −v ·  ln (a − x) +  ln c
p + 

\

1 + p 2

 = c (a − x) ^−v ...........................[3]

Voor de oplossing van p is het handig eerst het wortelgedeelte te elimineren.
Dat kan als volgt, als we bedenken dat

1 p +  \ 1 + p 2  =  p −  \ 1 + p 2 p 2 − (1 + p 2)

=

−p +  \ 1 + p 2

dus

−p + 

\

1 + p 2

 = c ⁻¹ (a − x) ^v ...........................[4]

Aftrekken ...[3] - [4]:

2 p = c (a − x) ^−v − c ⁻¹ (a − x) ^v

Uit de randvoorwaarden is c te berekenen.
Op t = 0 geldt p = x = y = 0 zodat:

0 = ca^-v - c^-1a^v
c = a^v

Zodat

2 p = a ^v (a − x) ^−v − a ^−v (a − x) ^v
2 p = 

a v

(a − x) v

 − 

(a − x) v

a v




2 p

=

1 v æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø  −    v æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø


2 p = 

	−v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 − 

	v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

Integreren

2 y = −

a

1 − v

 

	1 − v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 + 

a

1 + v

 

	1 + v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 + C

Omdat voor x = 0 ook y = 0 vinden we :

C = 

2 a v

1 − v 2

De gezochte curve heeft dus als vergelijking:

2 y = −

a

1 − v

 

	1 − v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 + 

a

1 + v

 

	1 + v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 + 

2 a v

1 − v 2

De hond haalt zijn baas in als x = a, dan geldt

y = 

a v

1 − v 2

................[5]

Hoeveel tijd t heeft de hond nodig om zijn baas in te halen?
b = vt is de afgelegde weg van de baas met snelheid v,
voor x = a geldt y = b = vt, combineer met ...[5] en

t = 

a

1 − v 2

Opmerking:
zie figuur 2.
hierin is a = 10 en v = 0,5 dwz. de hond loopt 2 x zo snel als zijn baas.
Na t = 13,33 wordt de baas ingehaald.

We willen nu weten hoelang er is gelopen bij een bepaalde waarde van x.
Aangezien de hond snelheid 1 heeft, is deze tijd gelijk aan de lengte van de curve die de hond
van 0 tot x heeft afgelegd.

De lengte van de curve is

ó õ	\ 1 + p 2  dx

We gaan uit van het eerder verkregen resultaat

2 p = 

	−v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 − 

	v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

om schrijfwerk te besparen stellen we

u = 1 − 

x

a

..............zodat
p = 

1

2

 (u ^−v − u ^v)
p ² = 

1

4

 (u ^−2 v + u ^2 v − 2)
1 + p ² = 

1

4

 (u ^−2 v + u ^2 v + 2)
1 + p ² = 

1

4

 (u ^−v + u ^v) ²


\

1 + p 2

 = 

1

2

 (u ^−v + u ^v)

de booglengte S = 

1

2

 

ó õ	(u −v + u v) dx

......[6]
en omdat dx = -a du gaat ...[6] gaat over in

S = 

-a

2

 

ó õ	(u −v + u v) du

Integreren:

S = 

−a

2

 

æ	u 1 − v 1 − v  +  u 1 + v 1 + v	ö
­		­
è		ø

 + C

u vervangen:

S = 

−a

2 (1 − v)

 

	1 − v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 − 

a

2 (1 + v)

 

	1 + v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 + C

Voor x = 0 is S = 0, zodat

S = 

−a

2 (1 − v)

 

	1 − v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 − 

a

2 (1 + v)

 

	1 + v
æ 1 −  x a ö ­ ­ è ø

 + 

a

1 − v 2

S is de afgelegde booglengte van 0 tot x. Deze is ook gelijk aan de tijd,
omdat de hond de (relatieve) snelheid 1 heeft.

Vraag
De positie van de hond in het coördinatenstelsel H(x,y) zou ook aangegeven kunnen worden
met x en y afhankelijk van de tijd t, dus in parametervorm x(t) ; y(t).

Het lukt mij echter niet deze parametervoorstelling uit het bovenstaande af te leiden.
Wie helpt?

---

Van de heer F. Antheunus (België) ontving ik een uitgebreid antwoord:

kijk [hier]

---

OneStat