Het onderstaande is de tekst van het door mij gemaakte werkstuk/scriptie.
De bijlagen ontbreken.
Later is de "bouwplaat" op schaal 1 : 3316,8 als afbeelding toegevoegd en is de tekst hier en daar aangepast.

Op het mondeling examen werd het werkstuk niet ingekeken.
De samenvatting van 100 woorden moest ik wel inleveren maar daarover werden geen woorden vuil gemaakt.
Mij werd eenzelfde soort opgave als op het schriftelijk examen onder de neus geschoven.
Vervolgens begon de examinator vragen te stellen. Resultaat voor het niet al te moeilijke schriftelijk van examenjaar 2000 was een 9,6 en voor het mondeling een 9,0

Wiskundige elementen in de grote piramide van Cheops.

Werkstuk voor mondeling MAVO-D wiskunde examen 2000 van Reinier, examennummer 307nnn.

Samenvatting in maximaal 100 woorden.

Dit werkstuk gaat over een aantal van de wiskundige elementen die terug te vinden zijn in de grote piramide van Cheops in Egypte.
Hierbij komen we onder meer de volgende onderwerpen tegen:
Functie, Pi, Phi ("Gulden snede"), Fibonacci, Pythagoras, omtrek, oppervlakte en volume berekeningen van rechthoeken, driehoeken en cirkels.
Door het maken van berekeningen, met de in de piramide gevonden afmetingen en verhoudingen, komen we tot de conclusie dat de piramidebouwers niet zo maar steen op steen stapelden maar een doordacht bouwplan gehad moeten hebben.
En meer wiskunde kennis dan Mavo-D niveau.

Inleiding

Dit werkstuk gaat over een aantal van de wiskundige elementen die terug te vinden zijn in de grote piramide van Cheops in Egypte. Hoe, door wie, waarom en wanneer deze piramide gebouwd is laat ik buiten beschouwing.
Niemand die hierop met zekerheid het antwoord weet. Er zijn door veel onderzoekers, van wetenschapper tot hobbyist, allerlei berekeningen losgelaten op de in de piramide gevonden verhoudingen en getallen.
Soms met verrassende uitkomsten.
Veel daarvan vind ik nogal vergezocht.
Alle "vondsten" die in de buurt komen van zaken als numerologie, beweringen en bijgeloof heb ik buiten beschouwing gelaten.
Dit werkstuk houd zich bezig met wiskunde, niet met waarzeggerij.

Waarom dit onderwerp?

  1. Omdat een piramide een wiskundige vorm is die de meetkundige basisvormen vierkant en driehoek bevat.
    Na enig zoeken kwam ik, direct of indirect, onder meer de volgende onderwerpen tegen:
  2. In april 1982 was ikzelf in Egypte en ben toen ook in de grote piramide van Cheops geweest.
    Door omstandigheden wist ik helemaal niets van het onderwerp "piramiden" af.
    Het leek mij interessant om alsnog het bouwwerk te bestuderen dat ik destijds als onwetende toerist heb bezocht.
    De piramide van binnen bekijken komt erop neer dat je, via een claustrofobisch gangetje de piramide ingaat, een rondje loopt in de koningskamer, en weer naar buiten gaat.

Notatie van berekeningen.

Hier heb ik gekozen voor wat ik "computernotatie" zal noemen.
/ is delen (forward slash)
* is vermenigvuldigen (sterretje)
^ is machtverheffen (dakje)
Haakjes zijn ter verduidelijking zoveel mogelijk gebruikt.
Of een "wortel" berekend wordt geef ik in de tekst aan. Alle berekeningen zijn gedaan met een Casio fx-82super fraction.

De plaats van de piramide.

Hoewel het geen zuiver wiskundig element is wil ik toch iets vertellen over waar de piramide staat.
De exacte locatie is:
29 graden, 58 minuten en 51,06 seconden noorderbreedte
31 graden, 9 minuten en 0,0 seconden oosterlengte
Het bijzondere hieraan is dat dit een van de twee kruispunten is van lengte en breedte graden die vergeleken met alle anderen het meest over land lopen.
Het andere kruispunt ligt in de stille oceaan.

Op school leerde ik dat men pas sinds de Middeleeuwen weet dat de aarde rond is.
Maar blijkbaar beschikten de piramidebouwers ook al over deze kennis. 
Of de plaats is bij toeval gekozen.
Dat kan natuurlijk ook.

Temperatuur.

Omdat de piramide zo'n groot object van vrijwel massief steen is, heerst binnenin een constante temperatuur van 68 graden Fahrenheit.
Hoeveel graden Celsius is dat?
Met de functie x (x - 32) * 5 / 9 is Fahrenheit om te rekenen naar Celsius.
Voor 68 graden Fahrenheit vinden we (68 - 32) * 5 / 9 = 20 graden Celsius.

Maatvoering.

Voordat we berekeningen kunnen loslaten op de piramide moet hij eerst opgemeten worden. Doen we dat met "onze" meet eenheden, zoals de centimeter of meter, of gebruiken we de door de piramidebouwers gebruikte lengte maten?

Hier komen we 2 problemen tegen.
1 Welke meeteenheden gebruikten de piramidebouwers?

Er zijn volgens deskundigen 3 meeteenheden gebruikt.
1 De Pyramide Inch, afgekort PI. Omgerekend 25,426901977 millimeter.
2 De Royal Cubic, deze bevat 20,6066 PI. Omgerekend 523,396 millimeter
3 De "gewone" Cubic, de "EL". Deze bevat 25 PI. Omgerekend 635,672549417 millimeter.
De 2 Cubics werken verwarring in de hand. Vaak moet uit de berekeningen opgemaakt worden welke van de twee is gebruikt. Achter de komma willen de waarden per geraadpleegde bron weleens verschillen.
De maat PI is dus niet hetzelfde als het getal Pi.
De ons bekende "Pi" is gedefinieerd als "de omtrek van een cirkel gedeeld door de doorsnee".
Op mijn Casio is Pi 3,141592654

2 Beschadigingen aan de piramide bemoeilijken het opmeten.
Een gedeelte van de buitenlaag, eigenlijk alles wat los gebikt kon worden, is in het verleden door omwonenden gebruikt als bouwmateriaal.
De berekeningen gaan uit van de oorspronkelijke maten van de piramide. Opmerking: voor de meeste berekeningen maakt het niet uit welke meeteenheden gebruikt worden.

Aantal dagen per jaar.

De omtrek aan de basis is 9131 PI * 4 = 36524 PI.
Oplettende deskundigen delen dit getal door 100 en vinden dan het aantal dagen per jaar:
36524 / 100 = 365,24 bijna compleet met schrikkeldag.
Sommige onderzoekers komen tot dezelfde conclusie met een andere berekening: "vertaal" je een zijde van de basis naar Cubits van 25 PI dan gebeurd hetzelfde:
9131 PI / 25 = 365,24
Niet geheel onlogisch want zowel 1 * 4 / 100 als 1 / 25 geven als uitkomst 0,04

Verhouding hoogte en omtrek.

Nemen we de hoogte van de piramide als straal van een cirkel, dan is de omtrek van die cirkel gelijk aan de omtrek van de basis van de piramide.
Omtrek cirkel is 5813 PI * 2 * 3,14159 = 36524,12534 PI
Omtrek basis is 9131 PI * 4 = 36524 PI Hieruit volgt het onderstaande:

Pi (1)

Delen we de omtrek van de basis door tweemaal de hoogte van de piramide dan vinden we Pi.
(9131 PI * 4) / (5813 PI * 2) = 36524 / 11626 = 3,141579219
Mijn Casio geeft voor Pi 3,141592654
De afwijking wordt dan 3,141592654 - 3,141579219 = 0,000013435 en is te verwaarlozen. Op zich heeft het vinden van Pi niets met het formaat van de piramide te maken.
Pi zit in elke piramide waarvan:
- de ribben een hoek van 41,9973 graden met het grondvlak maken.
- de zijden in een hoek van 51,8541 graden met het grondvlak staan. Het een volgt uit het ander.

"Gulden snede", Phi en Fibonacci.

De reeks van Fibonacci is een rij getallen die begint bij 1 en waarbij elk volgend getal bestaat uit de 2 voorgaande bij elkaar op geteld. Als je het als een verzameling ziet wordt het:
Fibonacci = { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... }
Een eigenschap van deze verzameling is dat, wanneer je wat verder in de reeks komt, een getal gedeeld door het voorgaande getal als uitkomst altijd het oneindige 1,61803398875 geeft.
Dit getal noemt men ook wel "Phi".
Rechthoeken met deze "gulden snede" verhouding 1 : 1,618 schijnen door architecten regelmatig gebruikt te worden.
Volgens slimme rekenaars zit "Phi" als volgt in de piramide:
Het is de afstand van de top tot het midden van een basiszijde, gedeeld door de helft van een basiszijde.
Voor wie het voor zich ziet: het is een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gedeeld wordt door de kortste rechthoekszijde.
Hoogte piramide = 5813 PI, lengte basis zijde = 9131 PI Met Pythagoras wordt de lengte schuine zijde:
wortel((5813*5813)+((9131/2)*(9131/2)))= 54634759,25 = 7391,532943
Schuine zijde gedeeld door helft basiszijde:
7391,532943 / ( 9131/2 ) = 1,618997469
Het verschil met de "echte" Phi is:
1,618997469 - 1,618033988 = 0,000963481 en dat is vrij nauwkeurig.
 

Experiment (1)

(Toevoeging op 2002.03.23)
Op de website van Jurgen Deleye stond het verband tussen het bekende "getal van het beest" 666 en "Phi":
SIN(666) * 2 = 1,618

Dit getal 666 wordt genoemd in het Bijbelboek Openbaringen hoofdstuk 13 vers 18.
Ook SIN(13 * 18) * 2 = -1,618 
Weliswaar negatief, maar ik keur het toch goed!
Erg toevallig allemaal.

Maar de verhouding 1 tot "Phi" wordt dan ook veel gebruikt.
Probeer het zelf: neem een Postbank envelop, zo'n blauwe waarmee je giro's verstuurd, en meet 'm op.
Ik nam als waarden 188 mm bij 117 mm.
Resultaat van deling is 188/117 = 1.607
Het verschil met "Phi" is 1,618 - 1.607 = 0,011
Komt aardig in de buurt toch?

Omschrijving van de Koningskamer.

Mijn eerste indruk in 1982 was: is dit alles?
Via een kleine voorkamer kom je in een grote lege en kale ruimte: de Koningskamer. 
Met sfeerloze TL-verlichting aan het plafond.
Ik kan me nog goed herinneren dat ik dacht dat alles naar musea was overgebracht.
Veel geld betalen, weinig zien. Ik voelde me genept.
Pas bij het maken van dit werkstuk kwam ik te weten dat deze ruimte voor zover bekend altijd leeg is geweest.
In de hele piramide zijn geen mummies of voorwerpen gevonden.
Ook hierogliefen ontbreken.
Goed beschouwd zijn de wiskundige eigenschappen eigenlijk alles wat je kunt bestuderen.

Het enige aanwezige in de koningskamer is een grote rechthoekige stenen bak zonder deksel. 
Je zou het wat eerbiediger een sarcofaag kunnen noemen. 
Maar niemand weet of 'r ooit een dode farao in heeft gelegen.

De steen van Pythagoras.

Boven de doorgang tussen de voorkamer en de koningskamer zit een, vergeleken met de rest grotere, afwijkende steen.
De maten zijn: breedte 124 PI, hoogte 93 PI.
De diagonaal is dan de wortel van (124 * 124) + (93 * 93) = 24025 = 155.
Dit is een perfecte Pythagoras 3 : 4 : 5 driehoek.
(Helaas geen foto van gevonden)

Pythagoras in de koningskamer.

De verhouding van de steen vinden we in de afmetingen van de koningskamer ook terug.
De diagonaal van een korte zijde vormt met de lengte van de kamer en de kamerdiagonaal een Pythagoras 3 : 4 : 5 driehoek.

In Cubits van 20,6066 PI:
Lengte 20, hoogte 11,18, breedte 10.
Diagonaal korte zijde is de wortel van (11,18 * 11, 18) + (10 * 10) = 225 = 15 Cubits.
Diagonaal van de kamer is de wortel van (20 * 20) + (15 * 15) = 625 = 25 Cubits.

In Piramide Inches:
Lengte 412, hoogte 230, breedte 206.
Diagonaal korte zijde is de wortel van (230 * 230) + (206 * 206) = 95336 = 309 PI
Diagonaal van de kamer is de wortel van (412 * 412) + (309 * 309) = 265225 = 515 PI

Pi (2)

Nog net acceptabel vindt ik de manier om uit de afmetingen van de koningskamer Pi te berekenen:
Tel van een korte zijde de breedte en hoogte bij elkaar op, vermenigvuldig dit met 3 en deel het resultaat door de lengte van de kamer.
In Cubits van 20,6066 PI:
(11,18 + 10) * 3 / 20 = 3,177 Cubits.
In Piramide Inches:
(230 + 206) * 3 / 412 = 3,174757282 PI
De afwijking met Casio Pi is 3,174757282 - 3,141592654 = 0,033 en nog wat.
Punt van discussie: is dit toeval of hebben de piramidebouwers bewust Pi willen "verstoppen" of gebruiken?

De stenen bak in de koningskamer.


Het bijzondere van de, behoorlijk beschadigde, stenen bak is het volume.
Het volume van de buitenzijde is tweemaal het volume van de binnenzijde.
Het volume van de buitenzijde in PI is:
Lengte 89,94 * breedte 38,67 * hoogte 41,21 = 143327,5
Het volume van de binnenzijde in PI is:
Lengte 77,81 * breedte 26,68 * hoogte 34,31 = 71226,6
2 * 71226,6 = 142453,2
143327,5 - 142453,2 = 874,3 PI
Een verschil van 0,6 procent.

Het deksel van de stenen bak (wat er niet is).

Aan de binnenkant van de rand van de bovenkant van de bak is een uitsparing gemaakt voor, wat men denkt, een deksel.
De uitsparing vormt een rechthoek van 80,949 PI bij 34,244 PI.
Dit geeft als omtrek ( 2 * 80,949 ) + ( 2 * 34,244 ) = 230,386 PI.
Praktisch hetzelfde als de hoogte van de koningskamer: 230 PI.

Diversen.

Door verschillende onderzoekers wordt gewezen op het feit dat de hoogte van de bak, 41,21 PI, een tiende is van de lengte van de koningskamer: 412 PI.
De breedte van de koningskamer minus de lengte van de voorkamer geeft de lengte van de bak: 89,94 PI.
Lengte bak 89,94 PI, breedte koningskamer 206 PI, lengte voorkamer 116,26471 PI
206 - 116,26471 = 89,73529 PI.

Logica en stoute toeristen

De bak is gemaakt uit een stuk graniet. 
Volgens sommige bronnen is een dergelijke bak alleen te maken met speciaal slijp en boor gereedschap. 
Desondanks worden de beschadigingen aan de bak toegeschreven aan toeristen.
Die zouden stukjes steen afhakken om als souvenir mee te nemen.
Waarmee hakken ze dan?
Met harde valuta soms?

De voorkamer.

De hoogte van de piramide gedeeld door 50 geeft de lengte van de voorkamer: 116,26471 PI.
Hoogte piramide is 5813 PI, lengte voorkamer is 116,26471 PI.
5813 PI / 50 = 116,26 PI

Verhouding tussen de PI en de Cubit.

Volgens deskundigen is de verhouding tussen de Pyramide Inch en de Cubit van 25 PI als volgt in de piramide tot uitdrukking gebracht:
- Bereken de oppervlakte van een cirkel met als doorsnee de lengte in PI van de koningskamer: 412 PI.
Kwadraat(412 / 2) * 3,14159 = 133316,51324 PI als oppervlakte van de cirkel
- Bereken nu de oppervlakte van de basis van de piramide in Cubits van 25 PI.
Maak eerst Royal Cubits van de 9131 PI van de zijkant basis piramide:
9131 PI / 25 PI = 365,24 RC als zijde piramide.
365,24 RC * 365,24 RC = 133400,2576 RC als oppervlakte van de basis.
- Het verschil is 133400,2576 - 133316,51324 = 83,74436.
Dat lijkt veel maar het is niet meer dan een afwijking van 0,063 procent.
Toeval of niet?

Experiment (2)

Als experiment leek het mij een goed idee om een schaalmodel van de piramide te maken.
Het idee kreeg ik van een website waar zo'n bouwplaat al kant-en-klaar op stond.
De afdruk op mijn printer was niet op schaal.
Bij het, op dezelfde schaal, zelf tekenen bleek de tekening niet volledig op het A4-formaat ruitjespapier te passen.
Daarom heb ik de oorspronkelijke schaal van 1 op 3000 veranderd naar 1 op 3316,8.
Hierna paste het wel.
En nog belangrijker: met opzet heb ik een schaal berekend waarbij het grondvlak overeenkwam met een geheel aantal ruitjes.
Hierdoor werd het tekenen eenvoudiger.
PIRAMIDE.BMP (69982 bytes)
In elkaar gezet (vergeet de plakranden niet) viel het mij op dat de piramide platter is dan hij in werkelijkheid lijkt.
De oorzaak hiervan is volgens mij dat de zijden worden gevormd door gelijkbenige driehoeken waarvan de benen korter zijn dan de basis.
Een piramide met zijden van gelijkzijdige driehoeken had veel hoger geweest.
In het echt is het zo'n enorm bouwwerk dat het niet opvalt. Op de bouwplaat van het schaalmodel zijn ter controle een aantal berekeningen uitgevoerd en op een apart blad (niet op deze website) 2 zijaanzichten getekend.

Hulp van de computer.

In een Excel 2000 spreadsheet heb ik de functie om Fahrenheit naar Celsius om te rekenen geprogrammeerd en in een grafiek gezet. Het resultaat is als bijlage toegevoegd.
Ook de Fibonacci reeks heb ik in een Excel spreadsheet gezet. Het resultaat is als bijlage toegevoegd.

Bronvermelding en zoektocht naar informatie.

Eigenlijk is alle informatie op het internet gevonden.
Het zoeken met deelverzamelingen van de onderstaande verzameling "zoekwoorden" gaf snel resultaten. Zoekwoorden = { cheops, egypt, geometry, math, orion, piramide, pyramid, wiskunde }
Een aantal van de bezochte internet-sites waren: http://egypte.pagina.nl/
http://greatseal.com/symbols/pyramidgeometry.html
http://home.wanadoo.nl/sil/Piramide.htm
http://rostau.webprovider.com/measures.html
http://saturn.vcu.edu/~chenry/
http://www-oi.uchicago.edu/OI/DEPT/COMP/GIZ/MODEL/Giza_Model.html
http://www.aloha.net/~hawmtn/pyramid.htm
http://www.geocities.com/~menkaure/pyramid/desk2.htm
http://www.innerx.net/personal/tsmith/Gpyr.html
http://www.intent.com/bruce/links.html
http://www.leapday.demon.nl/cheops/OU_EGYPT.HTM
http://www.parascope.com/enigmamain.htm
http://www.pbs.org/wgbh/nova/pyramid/textindex.html
Als extra heb ik, via het internet, een artikel over de piramide uit de Volkskrant van 30 april 1994 besteld.
Mijn eerste aankoop via internet. Uit de plaatselijke "gewone" bibliotheek leende ik het boek "Het Orion mysterie" van Robert Bauval en Adrian Gilbert.
Zowel het artikel uit Volkskrant als het boek bleken voor dit werkstuk van weinig waarde.
 
Terug naar de Reinier's thuispagina.