Opgave 1
10p 1
Domein: x2 ¼ 0 R\{0}
nulp: f(x) = 0 -> x2 + 2x + 2 = 0 en x2 ¼ 0
D = 4 - 4.1.2 = -4 < 0 -> geen nulpunten
extremen: f'(x) = 0
f'(x) = {x2(2x +2) - (x2 +2x + 2). 2x} / x4 = 0
(-2x2 - 4x) / x4 = (-2x - 4) / x3 = 0
-2x - 4 = 0 en x ¼ 0
x = -2
min f(-2) = 1/2
asympt:
6p 2
A(p,1) B{p, (p2 + 2p + 2)/ p2}
(p2 + 2p + 2)/ p2= 21/2 V (p2 + 2p + 2)/ p2 = - 1/2
p2 + 2p + 2 = 21/2 p2 K.N.
-11/2 p2 + 2p + 2 = 0
3p2 -4p -4 = 0
D = (-4)2 - 4.3.(-4) = 64
p = (4 ± 8) / 6
p = -2/3 V p = 2
7p 3
Int-4-1 ((x2 +2x + 2)/x2) dx = Int-4-1 (1 + 2/x + 2/x2) dx = [ x + 2 ln|x| - 2/x]-1-4 =
= (-1 +2ln1 + 2) - (-4 + 2ln4 + 1/2) = 41/2 - 2ln4
6p 4
y = ax + b
(0,1): y = ax + 1
f(x) = f'(x) x + 1
(x2 +2x + 2)/x2 = x.(-2x - 4) / x3 + 1
(x2 +2x + 2)/x2 = (-2x - 4) / x2 + x2/x2
(x2 +2x + 2)/x2 = (-2x - 4 + x2 ) / x2
x2 +2x + 2 = -2x - 4 + x2 en x2 ¼ 0
4x = -6
x = -11/2
f'(-11/2) = 8/27
l: y = 8/27 x + 1
Opgave 2
6p 5
f2/3 (x) = 0 als cos x + 2 /3 sin2 x = 0
cos x + 2/3 (1 - cos2 x) = 0
Stel cos x = c
-2/3 c2 + c + 2/3 = 0 als c = -1/2 V c = 2
cos x = -1/2 V cos x = 2
x = 2/3 p K.N.
6p 6
grafiek fa snijdt grafiek f-a bij x = 0 en x = p
grafiek fa ligt boven grafiek f-a
Va = Int0p (fa(x) - f-a(x)) dx = Int0p (cos x + asin2x) - (cosx - asin2x)) dx=
Int0p ( 2a sin2x )dx = 2a Int0p ( sin2x )dx
Int0p (sin2 x dx = Int0p ( 1/2 (1 - cos 2x) dx = 1/2 [x - 1/2 sin2x]p0 = 1/2 p
dus Va = 2a . 1/2 p = ap dit is 6p als a = 6
7p 7
fa heeft alleen maar randextremen. als er geen x is (0<x<p) met f'(x) = 0 met tekenwisseling.
f'a(x) = - sinx + a.2sinx.cosx =
sin x (1 + 2acosx)
f'a(x) = 0 als sin x = 0 V 1 + 2a cos x = 0
x = 0, p V cosx = -1/2a
Uit het 2e antwoord mag geen x tussen 0 en p uitkomen.
dus - 1/2 a < -1 of -1/2a > 1
0 < a < 1/2 of -1/2 < a < 0
mag a = 0 erbij?
f0(x) = cosx die heeft alleen maar randextremen.
antwoord: -1/2 < a < 1/2
Opgave 3
8p 8
2 piramides + 1 prisma
Ipiramide = 1/3 Gh = 1/3 (3.3).4 = 12
Iprisma = G.h = (1/2 .4.3).3 = 18
Inhoud = 2 x 12 + 18 = 42
7p 9
PB + PD minimaal als bij uitklappen BPD een rechte lijn is
PF/BB' = DF/DB'
PF /6 = 3 /8
PF = 18/8 = 21/4
7p 10
straal loodrecht vlak
5 x = 4 .3
x = 12 / 5 = 2 2/5
4 - x = 4 - 2 2/5 = 13/5
minimale afstand is 1 3/5
Opgave 4
6p 11
bij A en B geldt: y = 0.
y = 0 bij t = -1 of t = 1
t = -1: (x,y) = (3,0) punt B
t=1: (x,y) = (-1,0) punt A
voor rc raaklijn: dy/dt = 1/t ( t‚ 0) en dx/dt = 2t -2 ==> dy/dx = (1/t)/(2t - 2) ( t ¼ 0 en t ¼ 1)
als t = -1 dan dy/dx = -1/-4 = 1/4 (punt B) tan a = 1/4 => a = 14°
als t = 1 dan dx/dt = 0 (punt A) verticale raaklijn
gevraagde hoek 90°
6p 12
wentelen om y-as:
inhoud = p Int x2 dy = p Int x2 (dy/dt) dt
kleinste y-waarde y=0 ; t = 1
grootste y-waarde: snijpunt van K met y-as bepalen;
x = 0 als t = 0 of t = 2 (t = 0 voldoet niet)
inhoud = p Int12 (t2 - 2t)2 1/t dt = p Int12 (t3 - 4t2 + 4t) dt=
= p [ 1/4t4 - 4/3 t3 + 4 /2t2]12 = 5/12 p
6p 13
M (a,ln÷a)
Voor de punten P en Q geldt: y = ln÷a
ln|t| = ln÷a als |t|= ÷a , dus t = -÷a of ÷a
bij t = -÷a hoort x = (-÷a)2 - 2(-÷a) = a + 2÷a punt Q
bij t = ÷a hoort x = (÷a)2 - 2(÷a) = a - 2÷a punt P
dus:
P(a, -2÷a, ln÷a)
Q(a + 2÷a, ln÷a) ==> M is het midden van PQ
M(a, ln÷a)
Voor de punten R en S geldt: x = a
Welke t-waarden horen erbij?
t2 - 2t = a <=> t2 -2t -a = 0
t = (2 ± ÷(4 + 4a))/2
t = 1 - 1/2 ÷(4 + 4a) of t = 1 + 1/2 ÷(4 + 4a)
y = ln|1 -1/2÷(4 + 4a)| of y = ln|1 +1/2÷(4 + 4a)|
dus
R(a, ln|1 +1/2÷(4 + 4a)|)
S(a, ln|1 -1/2÷(4 + 4a)|)
M(a, ln÷a)
1/2(ln|1 +1/2÷(4 + 4a)| + ln|1 -1/2÷(4 + 4a)| ) =
1/2(ln|1 +1/2÷(4 + 4a)| .|1 -1/2÷(4 + 4a)| ) =
1/2(ln|1 -1/4(4 + 4a)| ) =
1/2(ln|1 - 1 - a|) =
1/2(ln|-a|) = 1/2(lna) = ln÷a dus M ligt midden tussen R en S.