Lissajous figuren

Op de middelbare school kregen we bij natuurkunde les over golfverschijnselen, elektrische spanningen, wisselstroom en -spanning, enzovoort. Een belangrijk hulpmiddel daarbij was de oscilloscoop: een kastje met wat knoppen en een beeldschermpje met een meetraster, zie hiernaast. Er zijn twee assen: horizontaal (X) en verticaal (Y). Als je op de verticale as een (willekeurige) wisselspanning zet ("signaal", bijvoorbeeld een blokgolf), en op de horizontale as een tijdsverloop zet met de juiste frequentie, krijg de een stilstaand beeld van het signaal op het scherm.

Als je op beide assen een sinusvormig signaal zet, kun je een Lissajous-figuur krijgen. Voorwaarde is dat het faseverschil tussen beide signalen een heeltallige breuk is. Dat is een breuk waarvan de teller en de noemer gehele getallen zijn, bijvoorbeeld 1:2 of 3:2. Als het faseverschil een klein beetje afwijkt van de heeltallige breuk, lijkt het of de figuur om de X- of Y-as draait.

Lissajousfiguren zijn genoemd naar Jules Antoine Lissajous (1822-1880). Hij maakte de figuren door licht achtereenvolgens te laten reflecteren door twee spiegels die bevestigd waren aan twee stemvorken die haaks op elkaar stonden.

De Lissajous-figuur wordt beschreven door het stelsel:

x		=		Asin(at + δ)
y		=		Bsin(bt)

Hierin is:
  •   A  De amplitude van het sinusvormige signaal op de horizontale as.
  •   B  De amplitude van het sinusvormige signaal op de verticale as.
  •   a  Vermenigvuldigingsfactor voor de frequentie op de horizontale as.
Het is de teller van de heeltallige breuk.
  •   b  Vermenigvuldigingsfactor voor de frequentie op de verticale as.
Het is de noemer van de heeltallige breuk.
  •   t  De tijd. Voor het tekenen van een statische figuur loopt t van 0 naar 2 π.
  •   δ  Het faseverschil tussen de horizontale en de verticale as.

Als A = B  en  a = b  en  δ = π/2 ontstaat er een cirkel
Als A = B  en  a = b  en  δ = 0 ontstaat er een recht lijnstuk onder -45° met de assen. De lijn staat onder 45° als  δ = π.
Als A ≠ B  en  δ = π/2 ontstaat er een ovale vorm.

De figuren hieronder wordt voor een paar waarden van a en b de Lissajousfiguur getoond. Hierbij geldt dat A = B  en  δ = π/2.

a = 1, b = 2 (1:2)		a = 3, b = 2 (3:2)		a = 3, b = 4 (3:4)
a = 5, b = 4 (5:4)		a = 5, b = 6 (5:6)		a = 9, b = 8 (9:8)

Bron:
Wikipedia.

Het leukste is natuurlijk om hier zelf een beetje mee te spelen. Daarvoor is een applicatie beschikbaar, klik op de knop hiernaast.
De code van de applicatie kun je downloaden om zelf aan door te ontwikkelen.

Downloaden:
 
Druk op de knop:  File: voorb198.zip, 3538 bytes.