Tekenen met de Superellips
In het item Tekenen met de Superformule wordt een en ander gezegd over de voordelen
van vector-graphics vanwege de schaalbaarheid.
Op deze bladzijde wordt een vroege versie van de Superformule behandeld, die bekend staat als de Superellips. Deze is (vermoedelijk
rond 1855) bedacht door Gabriel Lamé, een Franse ingenieur en wiskundige. Deze formule is sterk gepromoot door de Deense
wiskundige, uitvinder, schrijver en dichter Piet Hein.
De formule voor de Superellips, uitgedrukt in rechthoekige coördinaten, luidt:
|x / a|n + |y / b|n = 1
In deze formule is a de halve as in X-richting en b is de halve as in Y-richting. De macht n
bepaalt het uiterlijk van de figuur. Dit zijn reëele getallen, groter dan nul.
De figuur hiernaast toont een aantal verschijningsvormen van de Superellips.
Onderstaand overzicht toont de invloed van n, a en b op de verschijningsvorm van de figuur.
| Waarde van n | Gedaante van de Superellips | |
| n = 0 | In dit speciale geval wordt de figuur
een kruis. |
|
| 0 < n < 1 | De figuur is een vierarmige
ster met naar binnen gebogen zijkanten. Voor n = ½ is elk van de vier bogen een segment van een parabool. In het
speciale geval dat n = ⅔ en a = b ontstaat een astroïde. |
|
| n = 1 | De figuur is een ruit met hoekpunten
(±a, 0) en (0, ±b). Als a = b dan wordt het een vierkant. |
|
| 1 < n < 2 | De figuur lijkt op een
opgeblazen ruit. Naarmate n dichter bij 2 komt gaat de figuur meer op een ellips lijken. |
|
| n = 2 | De figuur is een ellips. Als a
= b krijg je een cirkel. |
|
| n > 2 | De figuur gaat steeds meer lijken op een
rechthoek met afgeronde hoeken. Als n heel groot wordt, wordt de afrondingsstraal zo klein dat een rechthoek overblijft.
Als a = b krijg je een vierkant. |
Bovenstaande formule is niet praktisch als je er een grafische weergave van wilt maken. Omdat het een gesloten kromme is, zijn poolcoördinaten handiger. De vertaling van de formule van rechthoekige coördinaten naar poolcoördinaten is lastig te doorgronden. We beperken ons tot het resultaat.
Uitgedrukt in poolcoördinaten luidt de formule voor de Superellips:
r(φ) = [ (a cos(φ))n/(n-1) + (b sin(φ))n/(n-1) ] (n-1)/n
Bij poolcoördinaten heb je een straal
r en een hoek φ. De oorsprong ligt op een punt (X,Y) dat de plaats van de figuur vastlegt
op het canvas.
φ is de lopende variabele. De berekeningen worden gemaakt in stappen, 0 ≤ φ ≤ 2π
(dus in radialen, niet in graden). Het begin- en eindpunt is op φ = 0 en φ = 2π. Die
punten worden allebei berekend, zodat er een gesloten figuur ontstaat.
De stapgrootte hangt af van de gewenste resolutie. Voor elke waarde van φ wordt een straal berekend, waaruit de
coördinaten op het canvas worden berekend. De zo gevonden beeldpunten worden onderling verbonden door rechte of gebogen
lijnen (splines).
