Numerieke Wiskunde V:
Benadering van een reeks punten door een machtsfunctie

In het item Benadering van een reeks punten door een rechte lijn wordt uit de doeken gedaan hoe je een reeks punten kunt benaderen door een rechte lijn. Het is ook wel mogelijk dat er in een grafiek van de punten een verband is te zien, maar dat een rechte lijn toch een slechte correlatie toont. In zo'n geval kun je proberen of de punten zijn te benaderen door een kromme van hogere orde. Een machtsfunctie kan daarvoor geschikt zijn. Dit gaat met de Methode van de kleinste kwadraten.

• Er wordt één item (zeer beknopt) besproken:
  1. De methode van de kleinste kwadraten voor machtsfuncties.
   
• De methode van de kleinste kwadraten voor machtsfuncties
• Het komt er in feite op neer dat de som van de kwadraten van de afwijking van de meetpunten van de kromme (de 'fout') zo klein mogelijk is.
• Stel: we zoeken de functie y = a·xb, die een verzameling van n punten (x_i, y_i) het beste beschrijft.
• Als we de verticale afwijking van de lijn t.o.v. elk punt f_i noemen, dan moet ∑[(fi - yi)²] dus minimaal zijn.
• Het is nu zaak de factor a en de exponent b te vinden, zodat de kromme kan worden getekend.
   
• Uit de vergelijking y = a·xb volgt: log y = log a + b·log x. Dit is een rechte lijn, wat blijkt als je de paren (x_i, y_i) uitzet op dubbellogaritmisch papier.
• Stel nu: A = log a, B = b, X = log x en Y = log y. Dan kan het volgende stelsel van twee variabelen worden afgeleid:
  

  B · ∑(Xi)	+ A · n	=	∑(Yi)
  B · ∑(Xi²)	+ A · ∑(Xi)	=	∑(Xi·Yi)

  Hieruit kunnen A en B worden opgelost, waarna a kan worden teruggerekend uit A.
   
• Voor het met een computerprogramma oplossen van dit soort eenvoudige stelsels van vergelijkingen is de Methode van Kramer heel geschikt. Die methode wordt beschreven in het item over lineaire regressie.
   
• De sommeringen maak je het beste in een tabel, zoals hieronder. De opgetelde getallen staan onder de onderste streep.
  

  i	xi	yi	Xi	Yi	Xi²	Xi·Yi
  1	2	27.8	0.3010	1.4440	0.0906	0.4347
  2	3	62.1	0.4771	1.7931	0.2276	0.8555
  3	4	110.0	0.6021	2.0414	0.3625	1.2290
  4	5	161.0	0.6990	2.2068	0.4886	1.5425
  n = 4			2.0792	7.4854	1.1693	4.0618

• Uitwerking van deze gegevens geeft als resultaat:
  Y = A + BX = 0.8681 + 1.9302·X.
  Dit wordt als volgt teruggerekend:
  •   A = log a, dus a = 10A = 10^0.8681 = 7.3799,
  •   b = B = 1.9302
• De beste machtskromme die je door deze punten kunt trekken is daarmee:
  y = 7.3799·x1.9302.
   
• Opmerking: De getallen in de tabel zijn afgeronde waarden. Als je ze narekent zul je tegen afwijkingen aanlopen. Daaruit blijkt dat dit rekenproces gevoelig is voor afrondfouten, en dat er daarom met véél decimalen moet worden gerekend om tot een betrouwbaar resultaat te komen.
• Als de meetpunten (paren (x_i, y_i)) niet geschikt zijn om door een machtsfunctie te worden beschreven, ontspoort dit rekenproces. Bij het terugrekenen van de invoer uit de uitvoer ontstaan er enorme afwijkingen.
   
• Natuurlijk is er ook een applicatie om zelf met deze techniek aan de slag te gaan. De tabel-matige aanpak wordt daar (niet zichtbaar) in gebruikt. Klik op de knop hiernaast.
• Een slimme manier om data in de applicatie in te voeren is door de getallen paren met een gewone editor in een tekstbestand te zetten en te bewaren. De data zet je vervolgens met knippen en plakken in de applicatie. Op dezelfde manier kun je data uit de applicatie nemen en apart opslaan.
   
• De code van de applicatie kun je downloaden om zelf aan door te ontwikkelen.
• Als je verder wilt werken aan de applicatie, download je de .zip-file en pak je hem uit. Je hebt dan meteen een werkend voorbeeld.

Bronnen:
Boek:
Kammer, ir. R; Numerieke methoden voor Technici, § 6.3. 2^e druk 1977. Uitg. Agon-Elsevier, ISBN 90 10 01840 7.
Internet:
nl.wikipedia.org/wiki/Kleinste-kwadratenmethode

Downloaden:
 
Druk op de knop:  File: voorb654.zip, 2592 bytes.

Opmerking:
 
De kleinste kwadraten methode beperkt zich niet tot machtsfuncties. Je kunt er ook benaderingen van rechte lijnen, polynomen en exponentiële functies mee maken. Een item over benadering door een rechte lijn vind je hier. Over benadering door een exponentiële kromme of een polynoom zijn items elders op deze site gepubliceerd.