Numerieke wiskunde XIV:
Differentiëren met de tweepunts-formule

Als een functie alleen is gegeven in een tabel met x- en y-waarden, kun je de afgeleide van die functie in een punt niet zomaar bepalen. Je kunt dan een numerieke techniek gebruiken om de afgeleide te berekenen.
Er zijn daarvoor diverse mogelijkheden, waaronder:
•  Bereken een polynoom, machtsfunctie of exponentiële functie met behulp van de kleinste kwadraten methode en differntiëer die.
•  Bereken het 'exacte' polynoom door de meetpunten en diffentiëer die. De graad de afgeleide is twee lager dan het aantal meetpunten.
•  Gebruik een variant van Lineaire interpolatie. Dit staat bekend als tweepunts-differentiatie.
•  Gebruik een variant van Driepunts-interpolatie. Dit staat bekend als driepunts-differentiatie.

Deze technieken hebben een gemeenschappelijk nadeel: ze zijn geen van alle erg nauwkeurig.

• Op deze bladzijde gaat het over tweepunts-differentiatie. Dat wil zeggen dat de afgeleide wordt bepaald op basis van een rechte lijn, vergelijkbaar met de aanpak bij lineaire interpolatie.
• Zie de figuur hiernaast. Er wordt uitgegaan van twee basispunten, (x0,y0) en (x1,y1), waar een lijn tussen getrokken wordt.
• De formule van die lijn is:
  y = y0 + (x-x0) / (x1-x0) · (y1-y0).
  Dit kun je ook schrijven als:
  y-y0 = (x-x0) / (x1-x0) · (y1-y0).
• Dit is weer te schrijven als:
  (y-y0) / (y1-y0) = (x-x0) / (x1-x0).
• Als je uitwerkt kom je op:
  y / (y1-y0) - y0 / (y1-y0) = x / (x1-x0) - x0 / (x1-x0).
   
• De afgeleide hiervan is:
  dy / (y1-y0) = dx / (x1-x0),
  dus dy/dx = y' = (y1-y0) / (x1-x0).
• Dit is constant, omdat de afgeleide van een rechte lijn een punt is. Het maakt dus niet uit in welk punt je de afgeleide bepaalt, bij deze techniek is de uitkomst alleen afhankelijk van de twee basispunten.
• Gewoonlijk liggen de basispunten op een kromme lijn. Hoe verder die punten uit elkaar liggen, hoe onnauwkeuriger de berekende afgeleide wordt.
• Het is zaak de basispunten (x0,y0) en (x1,y1) zo dicht mogelijk te kiezen bij het punt waar je de afgeleide wilt weten, teneinde de fout zo klein mogelijk te maken.

Een uitgewerkt voorbeeld
Vraag: geven is de set meetpunten (x,y) = (1,1); (2,3); (4,5); (5,7). Wat is de met de tweepunts interpolatie bepaalde waarde voor x = 3.1 ?

Uitwerking: x = 3.1 ligt in tussen x = 2 en x = 4.
De meetwaarden voor x = 1 en x = 5 doen in deze berekening niet mee!

• Teken eerst de meetpunten (x0,y0) = (2,3) en (x1,y1) = (4,5) in een grafiek. Trek een rechte lijn tussen de meetpunten.
• Bereken (met de hierboven genoemde formule): y' = (4-2)/(5-3) = 2/2 = 1. Dit is precies de richtingscoëfficiëent van de rechte lijn. Deze is onafhankelijk van x.
   
• Natuurlijk is er ook een applicatie om zelf met deze techniek aan de slag te gaan. Klik op de knop hiernaast.
   
• De code van de applicatie kun je downloaden om zelf aan door te ontwikkelen.
• Als je verder wilt werken aan de applicatie, download je de .zip-file en pak je hem uit. Je hebt dan meteen een werkend voorbeeld.

Downloaden:
 
Druk op de knop:  File: voorb664.zip, 2042 bytes.