Fractals zelf doen:
Kam van Cantor

In zijn boek "Fractals. Meetkundige figuren in eindeloze herhaling" beschrijft Prof. Hans Lauwerier (1923 - 1997) een aantal fractals. Hierbij zijn programmaatjes beschikbaar die zijn geschreven in een variant van BASIC, die vandaag de dag niet meer wordt gebruikt. Omdat de code te leuk is om te worden vergeten heb ik die omgezet in JavaScript.

Op deze pagina wordt programma KAM (pag. 147 van het boek) gebruikt. Dit programma tekent de Kam van Cantor (pag. 25), klik HIER voor een preview.

Onderstaande uitleg bevat wat jargon. Dat komt aan de orde op mijn site over fractals.
Belangrijke parameters van het programma zijn: svgW en svgH (afmetingen van de figuur, in het voorbeeld 760 × 570 beeldpunten) en P (Orde van de fractal, = 6, = aantal herhalingen van het Axioma dat wordt berekend). De hoogte van de "blokken" in de figuur BB is gelijk aan 0.1. De breedte van de figuur is 1.
Deze parameters kun je wijzigen om de invloed op de uitkomst te onderzoeken. Maar probeer ook eens om op andere plaatsen in de code te wijzigen …!

Het oorspronkelijke BASIC-programma gebruikt 'default-initialisatie' van variabelen. Als er geen waarde is toegekend wordt er een nul in gezet. De kracht van BASIC is onder meer dat je je bijna volledig kunt concentreren op het probleem. Dat geeft korte programma's.
De JavaScript-versie vraagt meer inspanning, onder andere doordat JavaScript standaard geen voorzieningen heeft om te plotten. Zaken als het initialiseren van variabelen, het passend maken van de figuur in de viewport en het daadwerkelijk zichtbaar maken van de figuur moet je zelf regelen, waar BASIC dat doet met een enkele opdracht.

Het JavaScript-programma is als volgt opgebouwd:

• De function SVGleader() zet de (openings-)<svg>-tag in elkaar. De variabelen svgW en svgH bepalen de grootte van de plot.
• Vervolgens gaat het programma rekenen. Dat doet de function Kam(), die de resultaten (begin- en eindpunten van de lijnstukken) aflevert in de arrays A[ ] en B[ ].
  De hoekpunten van het eerste blok staan in de in de arrays aa[ ] en bb[ ]. Die zijn hard geprogrammeerd.
• De lengte van deze arrays hangt af van de orde P, maar is dynamisch geïmplementeerd, zodat de beschikbare geheugenruimte in principe bepalend is voor de maximale waarde van P.
  De praktijk is echter iets weerbarstiger.
• In de praktijk kun je gaan tot P = 6. Dat is getest op mijn PC met Windows 11 (64 bits, 8 GB geheugen) en op een tablet (32 bits, 3 GB geheugen). Daarboven staan de verticale lijnen zo dicht bij elkaar dat ze door de beperkte resolutie van het scherm samen lijken te vallen.
• Het axioma begint met het bepalen van de grootste rechthoek. Dit is is de basis. Het motief deelt de onderste zijde van de rechthoek in drie gelijke stukken. Onder het eerste en het derde lijnstuk worden de hoekpunten van twee nieuwe rechthoeken berekend. De hoogte van elke rechthoek is BB.
• Zodra de berekeningen klaar zijn, start SVGlijnen(). Deze function schaalt de coördinaten van de lijnstukken (lees: de hele plot) op naar de 95% van de afmetingen van de SVG-viewport. Daarna wordt de oorsprong van de plot verplaatst van de oorsprong van de viewport (daar rekent BASIC mee; de oorsprong is in dit geval niet het middelpunt van de plot) naar de linker bovenhoek (daar rekent SVG mee).
• Vervolgens worden line-tags gemaakt voor elke set coördinaten [(X[i], Y[i]) en (X[i+1], Y[i])], [(X[i], Y[i]) en (X[i], Y[i+1])] en [(X[i+1], Y[i]) en (X[i+1], Y[i+1])].
  N.B.: De plot wordt niet gespiegeld in de X-as. Daardoor staan de "tanden" van de kam in de plot naar beneden.
• De function SVGtrailer() zet als laatste een melding boven de plot met daarin de orde P.
• Bovengenoemde JavaScript-functions worden achter elkaar uitgevoerd door de function toonFiguur(), die automatisch wordt gestart bij het laden van de pagina, via window.onload.
• Merk op dat het programma geen enkele voorziening heeft om fouten op te vangen.

Gebruiken:

Om met de code te spelen moet je deze downloaden naar je eigen computer en uitpakken. Start kam.htm door er op te klikken, gebruik zo nodig een lokale webserver. Je hebt meteen een werkend programma.
Raadpleeg het item Een workflow voor het ontwikkelen van JavaScript, in het bijzonder de opmerkingen over hoe je lokaal kunt werken (dus zonder steeds te hoeven uploaden naar de servers van je webhost).
Vereiste schermgrootte is 800 × 710 pixels. De toepassing op deze site maakt SVG-code aan, die wordt getoond door de inhoud van een <svg>-tag aan te passen.

Downloaden:
 
Druk op de knop:  File: voorb689.zip, 2222 bytes.