Fractals zelf doen:
Stoffractal, bepaald door drie rotaties

In zijn boek "Fractals. Meetkundige figuren in eindeloze herhaling" beschrijft Prof. Hans Lauwerier (1923 - 1997) een aantal fractals. Hierbij zijn programmaatjes beschikbaar die zijn geschreven in een variant van BASIC, die vandaag de dag niet meer wordt gebruikt. Omdat de code te leuk is om te worden vergeten heb ik die omgezet in JavaScript.

Op deze pagina wordt programma STOFBT (pag. 151 van het boek) gebruikt. Dit programma tekent een stoffractal die is bepaald door drie rotaties (hoofdstuk 5). Klik HIER voor een preview.

Onderstaande uitleg bevat wat jargon. Dat komt aan de orde op mijn site over fractals.
Dit programma maakt gebruik van backtracking. Dat betekent dat de rekentijd lang kan worden bij hogere orde van de figuur.
Belangrijke parameters van het programma zijn: svgW en svgH (afmetingen van de figuur, in het voorbeeld 760 × 570 beeldpunten) en P (Orde, = 8), A1 en B1 (Verkortingsfactor eerste rotatie, = 0.43 resp. 0.3), A2 en B2 (Verkortingsfactor tweede rotatie, = 0.43 resp. 0.3) en A3 en A2 en B3 (Verkortingsfactor derde rotatie, = 0.43 resp. 0.3). De sinus en de cosinus van de rotatiehoek (= 30° in het voorbeeld) wordt ingesteld door T1 (= 0.5) en T2 (= ½√3). Deze parameters kun je wijzigen om de invloed op de uitkomst te onderzoeken. Maar probeer ook eens om op andere plaatsen in de code te wijzigen …!

Het oorspronkelijke BASIC-programma gebruikt 'default-initialisatie' van variabelen. Als er geen waarde is toegekend wordt er een nul in gezet. De kracht van BASIC is onder meer dat je je bijna volledig kunt concentreren op het probleem. Dat geeft korte programma's.
De JavaScript-versie vraagt meer inspanning, onder andere doordat JavaScript standaard geen voorzieningen heeft om te plotten. Zaken als het initialiseren van variabelen, het passend maken van de figuur in de viewport en het daadwerkelijk zichtbaar maken van de figuur moet je zelf regelen, waar BASIC dat doet met een enkele opdracht.

Het JavaScript-programma is als volgt opgebouwd:

• De function SVGleader() zet de (openings-)<svg>-tag in elkaar. De variabelen svgW en svgH bepalen de grootte van de plot.
• Vervolgens gaat het programma rekenen. Dat doet de function Stofbt(), die de resultaten (middelpunten van de cirkeltjes waarmee de puntjes worden getekend) aflevert in de arrays X[ ] en Y[ ].
• De lengte van de arrays X[ ] en Y[ ] hangt af van de orde P. Het is dynamisch geïmplementeerd, zodat de beschikbare geheugenruimte in principe bepalend is voor de maximale waarde van P.
  De praktijk is echter iets weerbarstiger.
• Je moet niet hoger gaan dan P = 9. Bij hogere waarden van P gaat de resolutie van het scherm een rol spelen, dan komen de puntjes zo dicht bij elkaar dat de plot dichtloopt. Bij P ≥ 11 worden de arrays X[ ] en Y[ ] zo lang dat er geheugenproblemen kunnen ontstaan. Een en ander is getest op mijn Windows-PC (64-bits, 8 GB geheugen, beeldscherm 1920 × 1080) en op mijn tablet (Android, 32-bits, 3 GB geheugen, beeldscherm 1280 × 800).
• De parameters A1, B1, A2, B2, A3, B3, T1 en T2 bepalen het uiterlijk van de figuur. Als die niet goed passend bij elkaar worden gekozen, krijg je niet altijd een mooi resultaat. Het is een kwestie van een beetje spelen met de parameters.
• Zodra de berekeningen klaar zijn, start SVGpunten(). Deze function schaalt de punten (lees: de hele plot) op naar de 90% van de afmetingen van de SVG-viewport. Daarna wordt de oorsprong van de plot verplaatst van de oorsprong van de viewport (daar rekent BASIC mee) naar de linker bovenhoek (daar rekent SVG mee).
• De function SVGtrailer() zet als laatste een melding boven de plot met daarin de parameter P.
• Bovengenoemde JavaScript-functions worden achter elkaar uitgevoerd door de function toonFiguur(), die automatisch wordt gestart bij het laden van de pagina, via window.onload.
• Merk op dat het programma geen enkele voorziening heeft om fouten op te vangen.

Gebruiken:

Om met de code te spelen moet je deze downloaden naar je eigen computer en uitpakken. Start stofb.htm door er op te klikken, gebruik zo nodig een lokale webserver. Je hebt meteen een werkend programma.
Als je met de parameters gaat spelen, zul je vaak de variabelen ShX en ShY moeten aanpassen om de plot in de viewport te houden.
Raadpleeg het item Een workflow voor het ontwikkelen van JavaScript, in het bijzonder de opmerkingen over hoe je lokaal kunt werken (dus zonder steeds te hoeven uploaden naar de servers van je webhost).
Vereiste schermgrootte is 800 × 710 pixels. De toepassing op deze site maakt SVG-code aan, die wordt getoond door de inhoud van een <svg>-tag aan te passen.

Downloaden:
 
Druk op de knop:  File: voorb709.zip, 2142 bytes.