Fractals zelf doen:
Banen van Mira's algemeen systeem

In zijn boek "Fractals. Meetkundige figuren in eindeloze herhaling" beschrijft Prof. Hans Lauwerier (1923 - 1997) een aantal fractals. Hierbij zijn programmaatjes beschikbaar die zijn geschreven in een variant van BASIC, die vandaag de dag niet meer wordt gebruikt. Omdat de code te leuk is om te worden vergeten heb ik die omgezet in JavaScript.

Op deze pagina wordt programma MIRA (pag. 153 van het boek) gebruikt. Dit programma tekent Banen van Mira's kwadratisch systeem (pag. 130). Klik HIER voor een preview (Let op: de berekening kan lang duren).

Onderstaande uitleg bevat wat jargon. Dat komt aan de orde op mijn site over fractals.
Belangrijke parameters van het programma zijn: svgW en svgH (afmetingen van de figuur, in het voorbeeld 760 × 570 beeldpunten) en NMAX (Aantal punten, = 40 000). Verder zijn er de parameters A (= -.48), B (= .93), XX en YY (Coördinaen van het beginpunt). Deze parameters kun je wijzigen om de invloed op de uitkomst te onderzoeken. Zie ook de tabel verderop in dit verhaal. Maar probeer ook eens om op andere plaatsen in de code te wijzigen …!

Het JavaScript-programma is als volgt opgebouwd:

• De function SVGleader() zet de (openings-)<svg>-tag in elkaar. De variabelen svgW en svgH bepalen de grootte van de plot.
• Vervolgens gaat het programma rekenen. Dat doet de function Mira(), die de resultaten (middelpunten van de cirkeltjes waarmee de puntjes worden getekend) aflevert in de arrays X[ ] en Y[ ].
• De lengte van de arrays X[ ] en Y[ ] hangt af van het aantal punten NMAX. Het is dynamisch geïmplementeerd, zodat de beschikbare geheugenruimte in principe bepalend is voor de maximale waarde van NMAX.
  De praktijk is echter iets weerbarstiger.
• Het rekenproces is niet erg snel. In het voorbeeld worden 40 000 punten uitgerekend. Je kunt hoger gaan. Op een PC is NMAX = 400 000 mogelijk, op een tablet lijkt NMAX = 200 000 een bovengrens te zijn. Bij dit soort hoge waarden van NMAX heb je geduld nodig. Een en ander is getest op mijn Windows-PC (64-bits, 8 GB geheugen, beeldscherm 1920 × 1080) en op een tablet (Android, 32-bits, 3 GB geheugen, beeldscherm 1280 × 800).
• De parameters A en B bepalen het uiterlijk van de figuur. Als die niet goed passend bij elkaar worden gekozen, krijg je niet altijd een mooi resultaat. Een paar interessante combinaties staan hier onder. Tevens staan hierbij de beginpunten (XX, YY) vermeld
  

  A		B		(XX, YY)
  -0.4		1		(4, 0) (20, 0)
  -0.2		1		(10, 0)
  -0.05		1		(2, 0) (7.5, 0) (9.8, 0) (15,0) (18, 0) (20, 0) (25, 0)
  0.18		1		(5,3, 0) (8, 0) (9, 0) (15, 0) (20, 0)
  0.3		1		(-21, 0) (-12, 0) (2, 0) (7,0)
  0.31		1		(12, 0)
  0.32		1		(-5, 0)
  -0.48		0.93		(4, 0)		Dit is het voorbeeld
  -0.4		0.99		(4, 0)
  -0.25		0.998		(3, 0)
  0.01		0.96		(3, 0)
  0.1		0.99		(3, 0)
  0.7		0.9998		(0, 12)

• Zodra de berekeningen klaar zijn, start SVGpunten(). Deze function schaalt de punten (lees: de hele plot) op naar de 90% van de afmetingen van de SVG-viewport. Daarna wordt de oorsprong van de plot verplaatst van de oorsprong van de viewport (daar rekent BASIC mee) naar de linker bovenhoek (daar rekent SVG mee).
• De function SVGtrailer() zet als laatste een melding boven de plot met daarin de parameters A, B en NMAX.
• Bovengenoemde JavaScript-functions worden achter elkaar uitgevoerd door de function toonFiguur(), die automatisch wordt gestart bij het laden van de pagina, via window.onload.
• Merk op dat het programma geen enkele voorziening heeft om fouten op te vangen.

Gebruiken:

Om met de code te spelen moet je deze downloaden naar je eigen computer en uitpakken. Start mira.htm door er op te klikken, gebruik zo nodig een lokale webserver. Je hebt meteen een werkend programma.
Als je met de parameters gaat spelen, zul je vaak de variabelen ShX en ShY moeten aanpassen om de plot in de viewport te houden.
Raadpleeg het item Een workflow voor het ontwikkelen van JavaScript, in het bijzonder de opmerkingen over hoe je lokaal kunt werken (dus zonder steeds te hoeven uploaden naar de servers van je webhost).
Vereiste schermgrootte is 800 × 710 pixels. De toepassing op deze site maakt SVG-code aan, die wordt getoond door de inhoud van een <svg>-tag aan te passen.

Downloaden:
 
Druk op de knop:  File: voorb716.zip, 1927 bytes.