Over de Eindige Elementen Methode

De Eindige Elementen Methode (Engels: Finite Element Method, afgekort FEM) is een manier om constructies te analyseren. Denk daarbij aan staalconstructies in de ruimste zin van het woord: schepen, drukvaten, auto's, loodsen, enz., maar ook gebouwen van steen/beton, gedrag van vloeistoffen en gassen, warmteverdeling in printplaten, enzovoort.

De Eindige Elementen Methode werkt als volgt: een constructie (wat het ook moge zijn) wordt opgedeeld in kleine stukjes. Zo'n stukje heet een element. Dat kan zijn een lijn, een vlakke plaat of een volume.
Een lijn is meestal recht, maar kan ook gebogen zijn. Aan de dwarsdoorsnede wordt een vorm toegekend in termen van een oppervlakte A en een traagheidsmoment I. Als er buigspanningen moeten worden berekend is ook de grootste vezelafstand noodzakelijk. Meestal kan die uit de hoekpunten van de dwarsdoorsnede worden berekend.
Een plaat is meestal vlak, maar kan ook enkel of dubbel gekromd zijn. Aan de plaat wordt een dikte toegekend, waaruit het doorsnede-oppervlak en de traagheids­momenten worden berekend.
Een volume kan een soort kubus zijn, een soort prisma, een soort piramide of een ring. Zie de plaatjes hier onder.
Van belang zijn ook de materiaal-eigenschappen. Staal gedraagt zich anders dan beton, en dat gedraagt zich weer anders dan vezelversterkte kunststof. Bij staal en steen zijn de eigenschappen in alle richtingen gelijk. Bij gewapend beton is dat al niet meer zo. Bij vezelversterkte kunststof verschillen de eigenschappen per versterkings­laag.

De vorm van een element wordt bepaald door hoekpunten, in de FEM-analyse gewoonlijk nodes genoemd. Een rechte lijn wordt bepaald door twee nodes, een vlakke plaat door drie of meer (vaak vier) nodes, een volume wordt bepaald door minimaal vier nodes (eenvoudigste piramide) tot twintig of meer (kubusvorm met gebogen zijden).
De plaats van een node in de ruimte wordt bepaald door coördinaten. Dat zijn er meestal drie in de hoofdrichtingen: X, Y en Z. Voor vlakke constructies zoals vlakke vakwerken, vlakke platen en doorsnede door gas- of vloeistofstromingen (doorsnede evenwijdig aan de stroomrichting), worden vaak alleen de coördinaten X en Y gebruikt. Dat scheelt rekenwerk omdat in de Z-richting toch alles nul is.

Belastingen worden aangebracht op knooppunten en/of elementen. Krachten en momenten veelal op nodes, drukken en lijnbelastingen op het vlak of zijde van elementen. Deze worden vertaald naar belastingen op nodes, zodat er alleen belastingen op nodes overblijven.
Nodes die in één of meer richtingen niet mogen bewegen en/of verdraaien, worden vastgezet. Dat heet ondersteuning, maar het wordt meestal randvoorwaarde genoemd.
De bijdrage van elk element aan de eigenschappen in een node wordt bepaald door de materiaaleigenschappen en de vorm van elk element die de betreffende node gebruikt. Dit wordt gevangen in een stelsel vergelijkingen van de vorm:

Hierin is [F] een vector met uitwendige belastingen op elke node, [Q] is een matrix die de eigenschappen van alle nodes bevat en [D] is een vector met voornamelijk onbekende grootheden.
[D] is de gezochte oplossing.

Voor een staalconstructie bevat [F] de uitwendige belastingen, [Q] de stijfheids-eigenschappen van het model en is [D] een vector met de verplaatsingen en rotaties van elke node.
Bij andere FEM-toepassingen (thermisch gedrag, stroming van gassen en vloeistoffen, enz.) bevatten [F], [Q] en [D] andere gegevens, maar de werkwijze verschilt niet wezenlijk.

In een drie dimensionaal (= ruimtelijk) rekenmodel heeft elke node in een lijn- of plaatelement zes vergelijkingen: drie voor de verplaatsingen in de X-, Y- en Z-richting en drie voor de rotaties om de X-, Y- en Z-as. In volume-elementen hebben de nodes alleen vergelijkingen voor de verplaatsingen. Rotaties zijn daar niet gedefinieerd.
In een tweedimensionaal (= vlak) rekenmodel heeft elke node in een lijn- of plaatelement drie vergelijkingen: twee voor de verplaatsingen in de X- en Y-richting en één voor de rotatie om de Z-as (die in het X-Y-vlak is). Volume-elementen zijn hier niet mogelijk.

Al met al is dit heel veel invoer van heel veel getallen. Bij de oplossing komen daar nog veel meer getallen bij. Dan moet de oplossing op een of andere manier worden geïnterpreteerd (=postprocessing). Tegenwoordig betekent dat: het rekenmodel plotten, waarbij kleuren worden toegekend aan de resultaten. Dat is nog meer rekenwerk en nog meer getallen.
Uiteindelijk volgt er een waarde oordeel: "We denken dat het goed is" of: "We denken / zijn er zeker van dat het niet goed is".

Voor het bouwen van het model (preprocessing), het bepalen van de oplossingen en de postprocessing, is in de loop der jaren veel krachtige software beschikbaar gekomen, die de gebruiker veel werk uit handen neemt. Zo kan het maken van de elementverdeling helemaal aan de software worden overgelaten, wat weer het nadeel heeft dat er veel meer elementen worden gebruikt dan strikt noodzakelijk is. Dat is niet goed voor de nauwkeurigheid van de berekeningen. Het geeft veel extra nodes en dus veel meer vergelijkingen, wat weer meer rekenkracht en opslagcapaciteit van de computers vraagt. Maar de computers zijn ook weer veel krachtiger geworden…
Nochtans moge het duidelijk zijn dat de FEM-rekenwijze heel rekenintensief is. Het vraagt veel rekenkracht en veel opslagruimte. Het lijkt er op dat er een verzadiging begint op te treden, zowel in vereiste computerkracht als in de grootte van de rekenmodellen. En dat is (vind ik) niet verkeerd.

Tenslotte...
Je kunt je afvragen of dit onderwerp thuishoort op deze website. Op het moment dat dit wordt geschreven (augustus 2023) lijkt er een beweging te zijn ontstaan dat de rekenintensieve processen die hierboven zijn genoemd, zich verplaatsen van traditionele software op de computer naar webapplicaties die in een browser draaien.
Een door mij ontwikkelde applicatie, Fem2D, kan worden beschouwd als proof-of-concept. Het laat zien dat het mogelijk is om FEM-applicaties te bouwen in HTML, JavaScript en CSS, die helemaal in de browser van een cliënt-computer draaien, zonder dat er zware server-acties aan te pas komen. Voorwaarde is op dit moment dat er wordt teruggegaan naar de 'old-school' aanpak, waarbij alleen een eenvoudige preprocessor wordt gebruikt, die beperkt is tot het invoeren en plotten van het rekenmodel en het maken van een lijst van de ingevoerde data ter controle. Het maken van de elementverdeling en het opzoeken van eigenschappen is daarbij ouderwets handwerk. De postprocessor is ook heel basic: een lijst van de resultaten en een vervormingsplot.

Fem2D is een programma voor het doorrekenen van vlakke staafconstructies. Klik op de rekenmachine hiernaast om de applicatie te starten. Dat heeft overigens alleen zin als je iets weet van materiaaleigenschappen, mechanica en sterkteleer (maar een beetje spelen is natuurlijk altijd leuk!).