Vijf manieren om π te berekenen

In de wis- en natuurkunde bestaan constanten waarvan de grootte niet exact te bepalen is. Vier daarvan, die in de wiskunde voorkomen, zijn π, e, i en Φ:
  º π is de verhouding tussen de omtrek O en de diameter D van een cirkel: π = O / D.
  º e is het getal van Euler: e ≈ 2.71828182845.
  º i is de constante voor de wijzer in een complex getal: i² = -1.
  º Φ is de verhouding van de Gulden Snede, Φ ≈ 1.618033988749894848.

Dit verhaal gaat over π.

De wiskundige constante π is een irrationaal getal. Dit houdt in dat π niet als een verhouding van twee hele getallen (een eindige breuk) te schrijven is. Dat betekent dat zich in de decimale voorstelling van π geen herhalende periode voorkomt, zoals bij een rationaal getal wel gebeurt: π ≈ 22/7 = 3.142 857 142 857... De waarde van π kan in decimale notatie wel benaderd worden, maar de n reeks cijfers achter de komma is nog geen herhalend patroon gevonden.

Al in de oudheid was bekend dat de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel geen mooi rond getal is. De Griekse wiskundige Archimedes gaf rond 250 v. Chr. met behulp van een simpel algoritme een opmerkelijk nauwkeurige benadering van π:
Er is een zeshoek die precies in een cirkel past en er is een zeshoek die precies om die cirkel heen past. De omtrek van de cirkel ligt tussen de omtrek van de kleine en de grote zeshoek in. Als de diameter van de cirkel 1 is, en de omtrek dan de cirkel dus 2 maal π is, dan ligt 2π dus tussen de omtrek van de kleine en de grote zeshoek in.
Als de zeshoek wordt vervangen door een twaalfhoek, dan wordt het verschil tussen de omtrek van de kleine en de grote twaalfhoek kleiner en daarmee de benadering beter. Archimedes kwam uit op (de laatste decimaal is afgerond):

223/71 (≈ 3.1408450704) ≤ π ≤ 22/7 (≈ 3.1428571429).

Als deze twee getallen worden gemiddeld, vind je: π ≈ 3.1418511067. En dat komt heel dicht in de buurt van wat we nu weten en gebruiken omdat het zo in onze zakreken­machines zit :
π = 3.1415926536.

Een eenvoudiger manier om π te benaderen is door alleen te kijken naar de veelhoek binnen de cirkel, zie de illustratie hiernaast.
De omtrek van de cirkel is O = 2πR. Neem de straal van de cirkel R = 1. Dan is π = ½O.

Benader O door de omtrek van de ingeschreven veelhoek. Het aantal hoekpunten is n, hier is dat 6. De hoek α tussen twee opeenvolgende stralen (MA en MB) is 360°/n = 60°
De lengte van één zijde van de zeshoek is het lijnstuk AB = 2AP = 2sin(½α).
Daarmee is de benadering: π = n sin(½α), zie de tabel.

Uit de tabel blijkt dat het iteratieproces aanvankelijk redelijk snel gaat, maar daarna gaat het steeds trager. Er zijn zeven stappen nodig om de eerste vier decimalen nauwkeurig te krijgen. Je benadert π dan met een regelmatige 384-hoek. Er zijn minstens 17 iteratiestappen nodig zijn om hetzelfde aantal decimalen te halen als er in je rekenmachine zitten. Daarvoor benader je de cirkel met een regelmatige 393216-hoek.

Tot hier is alleen gekeken naar de aanpak van Archimedes, maar er zijn door de tijd meer benaderingsmethoden gebruikt om π te bepalen. Hierbij wordt vaak (altijd?) gebruik gemaakt van de som of het product van de termen van een minder of meer ingewikkelde reeksontwikkeling. Vier van deze methodes zijn:

Door de eeuwen heen is geprobeerd om herhalende patronen in de decimalen van π te vinden. Dat zal nooit lukken omdat π een irrationeel gettal is. Op het moment dat dit geschreven wordt (oktober 2024) zijn er ongeveer 6.8 biljoen cijfers achter de komma bekend. In augustus 2021 zijn er door de academici van de University of Applied Sciences in Graubünden, Zwitserland, nog tien cijfers aan toegevoegd: 7, 8, 1, 7, 9, 2, 4, 2, 6 en 4.
Deze jacht op de oneindige decimalen van π is er niet alleen voor de prestige of het plezier. Zo verklaarde het Zwitserse onderzoeksteam dat hierdoor zaken als RNA-analyse, tekstanalyse en bijvoorbeeld het uitvoeren van simulaties beter en sneller kan worden. De berekeningen van π dienen dus als een soort vingeroefening om de prestaties van supercomputers te verbeteren.

Bronnen: internet, o.a. nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde).