Kwadraten van enen
Deze valt in de rubriek "grappige dingen met getallen zonder praktisch nut".
Stel: Je hebt een getal dat bestaat uit ten hoogste negen enen. Als je zo'n getal kwadrateert (met zichzelf vermenigvuldigt) onstaat er een soort kerstboom.
n | n2 |
|
| 1 | 1 | |
| 11 | 121 | |
| 111 | 12321 | |
| 1111 | 1234321 | |
| 11111 | 123454321 | |
| 111111 | 12345654321 | |
| 1111111 | 1234567654321 | |
| 111111111 | 123456787654321 | |
| 1111111111 | 12345678987654321 |
Dit is nog duidelijker als je alleen de kwadraten onder elkaar zet:
1 |
121 |
12321 |
1234321 |
123454321 |
12345654321 |
1234567654321 |
123456787654321 |
12345678987654321 |
Bij deze boom vallen een paar dingen op:
- Het aantal cijfers in de kwadraten is steeds oneven.
- Het middelste cijfer van het kwadraat is steeds gelijk aan het aantal enen in het gekwadrateerde getal.
- De cijfers in het gekwadrateerde getal lopen steeds op van 1 naar het aantal enen en lopen daarna weer terug naar 1. Zowel de enen als de kwadraten zijn symmetrische getallen.
De vraag rijst of het ook nog werkt als er meer dan negen enen zijn. Dat is niet zo:
10 enen: 11111111112 = 1234567900987650000
11 enen: 111111111112 = 123456790120988000000
Dan kun je jezelf afvragen of dit zich ook voordoet bij een derde, vierde of nog hogere macht. Dat is zo, maar beperkter:
Derde macht : 113 = 1331; 1113 = 1367631; 11113 = 1371330631. Bij vier enen gaat het fout.
Vierde macht: 114 = 14641; 1114 = 151807041. Bij drie enen gaat het fout.
Vijfde macht: 115 = 161051. Bij twee enen gaat het al fout.
En wat als je geen enen, maar tweeën gebruikt? Ook dan werkt het, maar ook beperkt:
Kwadraat: 222 = 484, 2222 = 49284. Bij drie tweeën gaat het fout.
Derde macht : 223 = 10648. Bij twee tweeën gaat het meteen fout.
Als je drieën gebruikt werkt het helemaal niet:
Kwadraat: 332 = 1089.
Het bovenstaande is een leuk gimmick. Voor wiskundige, technische of digitale toepassing heeft het geen betekenis.
