Over logaritmen en de rekenliniaal

De rekenliniaal is een verouderde techniek voor het doen van rekensommen. Je kunt er mee vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken. Goede rekenlinialen hebben ook goniometrische functies en een afleesschaal voor de mantisse van logaritmen aan boord. Dit alles met een beperkte nauwkeurigheid, maximaal 3 significante cijfers.
Niemand gebruikt ze nog, iedereen is overgestapt op de zakrekenmachine. Toch is het niet verstandig om deze techniek te vergeten, want wat als de stroom een jaartje of zo uitvalt?
Dit verhaal geeft een beknopte uitleg over logaritmen en het gebruik van een rekenliniaal.
Inspiratie voor dit verhaal is ontstaan tijdens een zolderopruiming, waar ik mijn oude rekenliniaal van de middelbare school terugvond.

Logaritmen
Elk getal, behalve 0, is te schrijven als een grondtal a en een exponent x, bijvoorbeeld 100 = 102. Hierin is 10 het grondtal en 2 de exponent.

Als je het getal 100 hebt en het grondtal is 10, dan is de exponent 2. Dit wordt logaritme genoemd. Je schrijft het als 10log(100) = 2.

Ieder positief getal is mogelijk als grondtal. 10, e (het getal van Euler, e = 2.7182818…) en 2 worden het meest gebruikt. Als 10 het grondtal is, wordt dit weggelaten. Als e het grondtal is, is de schrijfwijze niet elog(x), maar ln(x).
In de schrijfwijze mogen de haakjes worden weggelaten als dat geen verwarring veroorzaakt over wat er wordt bedoeld. Dus:
log(2) is hetzelfde als log 2, maar log 5×2 kan worden uitgelegd als log(5×2), maar ook als 2×log(5). Hier zijn de haakjes nodig om het onderscheid te maken.

Hier lees je iets over de geschiedenis van logaritmen.

Logaritmen hebben hun eigen rekenregels, die direct zijn af te leiden uit de "normale" wiskunde. Je kunt ze bijvoorbeeld gebruiken om getallen te vermenigvuldigen door hun logaritmen op te tellen. Dat wordt dan weer gebruikt om te rekenen met de rekenliniaal, zie verderop in dit verhaal.

De rekenregels zijn:

• log(x·y) = log(x) + log(y)
• log(x/y) = log(x) - log(y)
• log(xy) = y·log(x)
• log(x-y) = -y·log(x) = log(1/xy)

Het is eenvoudig om logaritmes van het ene grondtal in het andere om te rekenen. Dat heb je altijd nodig als het grondtal niet gelijk is aan e of 10. Van die getallen zijn bestaan uitgebreide tabellen, ze zitten in elke programmeertaal en in elke wetenschappelijke rekenmachine. Omrekenen doe je met de formule:
alog b × blog c = alog c. Let hierbij op de regelmaat in de formule.

• blog c = alog c / alog b
• In voorkomende gevallen gebruik je het beste het natuurlijke logaritme, dus a = e. Dit omdat ln door je rekenmachine eenvoudiger te berekenen is dan log.
• Omrekening met deze formule gaat altijd goed, want een logaritme kan nooit nul zijn.

De rekenliniaal
De rekenliniaal kan worden beschouwd als de voorloper van de (technisch-wetenschappelijke zakrekenmachine. Het gebruik vraagt een zekere handigheid gecombineerd met een goede rekenvaardigheid en kennis van de tafels van vermenigvuldiging (van 1 t.m. 10).
Met een rekenliniaal bepaal je hoogstens drie significante cijfers van het resultaat van de berekening. De plaats van de komma bepaal je door een schatting van de uitkomst.

Onderstaande figuur toont een rekenliniaal. Je ziet een "frame" met daarin een verschuifbaar deel, de schuif of tong. Daaroverheen schuift een transparante "loper" met daarop drie korte haarlijnen en en een lange haarlijn. De korte haarlijnen zijn voor speciale berekeningen. Die blijven in dit verhaal buiten beschouwing.
Op de liniaal en de schuif zit een aantal schaalverdelingen, elk met een eigen functie, die verderop in dit verhaal worden beschreven.

  ◀   Klik of tik op de pijlen om het beeld te verschuiven   ▶  

Werking
De werking wordt uitgelegd aan de hand van de onderstaande figuren.
Optellen
•   Bereken: 2 + 6 = 8
•   Ga uit van een "gewone", lineaire getallenlijn. De getallen staan op gelijke afstand van elkaar.
•   Zet de 0 van een tweede getallenlijn tegen de 2 van de eerste getallenlijn.
•   Lees af bij 6 (op de bovenste lijn): 8 (op de onderste lijn).
Aftrekken
•   Bereken: 8 − 5 = 3
•   Ga weer uit van een "gewone", lineaire getallenlijn.
•   Zet de 5 van een tweede getallenlijn tegen de 8 van de eerste getallenlijn.
•   Lees af bij 0 (op de bovenste lijn): 3 (op de onderste lijn).

Als je de lineaire schalen vervangt door logaritmische schalen, kun je op dezelfde manier als hierboven is beschreven, logaritmen optellen en aftrekken. In feite vermenigvuldig resp. deel je dan, want:
log(a) + log(b) = log(a·b), en:
log(a) - log(b) = log(a/b).
In plaats van 0 gebruik je 1 op de logaritmische schaal, wantlog(1) = 0.

Bedenk hierbij dat je alleen significante cijfers bepaalt. Als een van de getallen van de berekening buiten de schaal valt, gebruik je de 10 in plaats van de 1. De plaats van de komma bepaal je door een schatting van de uitkomst.

De schalen
De schalen worden aangeduid met één, twee of drie letters. Die staan aan het linker uiteinde van de liniaal. De betekenis staat aan het rechter uiteinde. Zie onderstaand overzicht, dat geldt voor de hierboven getoonde rekenliniaal. De lijst van schalen die hier wordt genoemd is niet uitputtend. Er zijn er meer.

Tenslotte...
•   Rekenen met de schalen A en B is minder nauwkeurig dan rekenen met de schalen C en D.
•   De schalen S, ST en T zijn in radialen verdeeld, maar weergegeven in graden.
•   Voor uitgebreid machtsverheffen en worteltrekken worden de schalen LL2 en LL3 gebruikt. Die zijn op de hier besproke rekenliniaal niet aanwezg en blijven hier onbesproken.
•   Boeken en artikelen over het rekenen met de rekenliniaal zijn op internet (nog) te vinden. Een .pdf met een handleiding van de hier getoonde rekenliniaal vind je onder deze link.