Een bewijs voor de Stelling van Pythagoras
Hiernaast
zie je een driehoek met zijden a
, b
en c
. De hoek γ
tussen de zijden
a
en b
is 90°. Het wordt daarom een rechthoekige driehoek genoemd. De zijde c
is de overstaande zijde. De hoeken α
en β
zijn samen 90°.
De Griekse filosoof Pythagoras (ca. 570 – ca. 495 v.Chr.) heeft voor rechthoekige rechthoeken de volgende stelling geponeerd:
a² + b² = c²
De Stelling van Pythagoras is bewezen op verschillende manieren. De (volgens mij) meest elegante aanpak wordt hieronder besproken.
Vier identieke
driehoeken worden in een patroon neergelegd zoals getoond in de figuur hiernaast. De zijden a
en b
liggen steeds in elkaars verlengde. De zijden van de figuur zijn elk (a + b)
lang. De hoek γ
tussen de zijden a
en b
van elke driehoek is steeds 90°. De figuur is dus een vierkant.
Omdat de hoeken α
en β
samen 90° zijn, is de hoek tussen de vier paren zijden c
steeds 90°. Dat is dus ook een vierkant.
De oppervlakte van het grote vierkant kan op twee manieren worden berekend: Als het product van de zijden (a + b)
en als de som van de oppervlakte van de vier driehoeken en het vierkant met zijden c
. De oppervlakte van één
driehoek is ½ab
.
Er geldt nu:
(a + b)2 = 4×½ab + c2
.
Dit uitwerken geeft:
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
.
Schrap de gelijke termen:
a2 + b2 = c2
.
Hiermee is de Stelling van Pythagoras bewezen.