De stelling van Fermat over priemgetallen
Deze valt in de rubriek "grappige dingen met getallen zonder praktisch nut"".
In elk geval zou ik niet weten waar dit voor gebruikt wordt...
De wiskundige Albert Girard (1595-1632) heeft een stelling geponeerd over priemgetallen:
Als de rest na deling van een priemgetal dat gedeeld wordt door vier, gelijk is aan één, is dat dat priemgetal
te schrijven als de som van twee kwadraten.
Exacter zegt de stelling dat een oneven priemgetal p uit te drukken is als p = x² +
y², waarbij x en y gehele getallen zijn, dan en slechts dan als p ≡ 1 mod
4.
Girard poneerde de stelling in 1640. Toch is de stelling vernoemd naar Pierre de Fermat (1607-1665), maar volgens mij
weet niemand waarom.
Het eerst bekende bewijs voor de stelling dateert uit 1747 en is geleverd door Leonhard Euler (1707-1783).
De tabel hieronder geeft een overzicht van priemgetallen van 2 tot en met 41,
De priemgetallen 5, 13, 17, 29, 37 en 41 zijn als som van kwadraten te schrijven. De priemgetallen 3, 7, 11, 19, 23 en 31 kunnen niet als de som van twee kwadraten worden geschreven.
| P | P % 4 | x² + y² | x | y |
| 2 | 2 | |||
| 3 | 3 | |||
| 5 | 1 | 4 + 1 | 2 | 1 |
| 7 | 3 | |||
| 11 | 3 | |||
| 13 | 1 | 9 + 1 | 3 | 1 |
| 17 | 1 | 16 + 1 | 4 | 1 |
| 19 | 3 | |||
| 23 | 3 | |||
| 29 | 1 | 25 + 4 | 5 | 1 |
| 31 | 3 | |||
| 37 | 1 | 36 + 1 | 6 | 1 |
| 41 | 1 | 25 + 16 | 5 | 4 |
Hieronder nog een paar priemgetallen die als som van twee kwadraten zijn te schrijven:
| P | x² + y² | P | x² + y² | |
| 53 | 2² + 7² | 79601 | 199² + 200² | |
| 61 | 5² + 6² | 2369929 | 1077² + 1100² | |
| 73 | 3² + 8² | 201743929 | 10035² + 10052² | |
| 89 | 5² + 8² | |||
| 97 | 4² + 9² |
