Over paradoxen in de wiskunde

Wiskundige paradoxen zijn conclusies uit geldige redeneringen die zo onverwacht zijn dat ze moeilijk te accepteren zijn. Een voorbeeld hiervan is de Russell-paradox, die aantoont dat de intuïtieve verzamelingenleer fouten bevat. Dit soort paradoxen, die vaak met oneindigheid of verzamelingen te maken hebben, dwingen wiskundigen om hun aannames te herzien en leiden tot nieuwe inzichten en striktere formuleringen.

Bekende voorbeelden

• Russell-paradox: Een verzameling die zichzelf niet als element bevat, kan dan wel of niet de verzameling van alle verzamelingen zijn die zichzelf niet als element bevatten. Dit leidt tot een tegenspraak en toonde de noodzaak van een formelere verzamelingenleer aan.
  Een bekende versie van de Russell-paradox is die van de Barbier van Sevilla: In de middeleeuwen had de barbier van Sevilla een uithangbord: "Ik scheer alle mannen die niet zichzelf scheren" Hij wist echter geen antwoord toen iemand hem vroeg: "En scheert u uzelf of niet?" Met andere woorden, gegeven de verzameling van alle mannen die zichzelf niet scheren, behoort de barbier tot deze verzameling?
• Paradox van Zeno (Achilles en de schildpad): De filosoof Zeno probeerde met de paradox van Achilles en de schildpad aan te tonen dat beweging onmogelijk is door een oneindig aantal stappen te bedenken die Achilles moet nemen om de schildpad in te halen. Dit is echter een drogreden, omdat de som van een oneindige reeks een eindig resultaat kan hebben.
  De Amerikaanse hoogleraar Douglas R. Hofstadter gebruikt dit thema in zijn boek Gödel, Escher, Bach: een eeuwige gouden band (uitg. Contact, Amsterdam 1985 ISBN 90-254-6643-5). In dit boek wordt op een niet gemakkelijk te begrijpen manier uitgelegd wat de gevolgen zijn van de onvolledigheidsstellingen van Gödel voor de wiskunde, het dagelijks leven en kunstmatige intelligentie. Daarbij laat hij zich inspireren door tekeningen van Escher en muziek van Bach; in beide zijn allerlei schijnbare tegenstellingen te vinden.
• Banach-Tarski paradox: Dit principe stelt dat een 3D-object, zoals een bol, opgedeeld kan worden in een eindig aantal stukken die door rotaties en translaties opnieuw geassembleerd kunnen worden tot twee identieke bollen, wat het principe van het behoud van volume lijkt te schenden.

Het belang van paradoxen in de wiskunde
 
Sommige paradoxen, zoals die van Zeno, laten ons de beperkingen van ons intuïtieve begrip zien. Daardoor zijn wij beter in staat te begrijpen hoe de wiskunde de werkelijkheid beschrijft. Dit versterkt verbinding tussen de theoretische, vaak abstracte wiskunde en de dagelijkse werkelijkheid.
Daarnaast kunnen paradoxen crises veroorzaken in de wiskunde, zoals gebeurde door de Russell-paradox. De fundamentele discussies die volgden hebben geleid tot een steviger basis onder de wiskunde, doordat aannamen, theorieën en definities preciezer werden geformuleerd.

Bronnen;
Hofstadter, Douglas R.; Gödel, Escher, Bach: een eeuwige gouden band.
uitg. Contact, Amsterdam 1985 ISBN 90-254-6643-5.
Veel informatie is te vinden via deze link:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Verzamelingenleer