Over Bézier-krommen

Bézier-krommen zijn bedacht door de Franse ingenieur Pierre Bézier, die deze krommen gebruikte in de jaren 60 van de vorige eeuw bij het vormgeven van auto's (Renault).

Bézier-krommen zijn parametrische krommen die gedefinieerd worden door punten waartussen rechte lijnen worden getrokken. Tussen die lijnen worden verbindingslijnen getrokken. De plaats en de richting van die verbindingslijnen worden bepaald door een parameter t, die een fractie van de lengte van de lijnen voorstelt. Er geldt dus: 0 ≤ t ≤ 1. Elk punt van de kromme wordt bepaald door de fractie t van de verbindingslijn. De richting van elk punt van de kromme is de richting van de bijbehorende verbindingslijn. Feitelijk zijn de verbindingslijnen raaklijnen aan de kromme.

Zie de figuur rechtsboven.
Dit is een Bézier-kromme van de tweede orde. Er zijn drie punten, P₀, P₁ en P₂. Er zijn lijnen (groen) van P₀ naar P₁ en van P₁ naar P₂. De parameter t loopt van P₀ naar P₁, van P₁ naar P₂ en over de verbindingslijn. Verbindingslijnen (rood) zijn getekend voor t = 0.2, 0.4, 0.6 en 0.8. De twee blauwe punten zijn punten van de kromme voor t = 0.4 en t = 0.6.

Hiernaast zie je het ontstaan van een tweedegraads Bézier-kromme. t loopt in stapjes van 0.01.

Elke Bézier-kromme begint in P₀ en eindigt in P_n, waarin n de orde van de kromme voorstelt. Een derde-orde kromme begint dus in P₀ en eindigt in P₃, zoals hiernaast is te zien. Daarbij valt nog iets op: Er is een verbindingslijn tussen de lijnen van P₀ naar P₁ en van P₁ naar P₂, maar er is ook een verbindingslijn tussen de lijnen van P₁ naar P₂ en van P₂ naar P₃. Tussen deze verbindingslijnen loopt weer een nieuwe verbindingslijn (blauw), waar het punt van de Bézier-kromme op ligt.

De wiskunde achter deze techniek wordt hier niet besproken. Daarvoor wordt verwezen naar een uitstekend artikel op Wikipedia.

Toepassingen

• Tweede-orde Bézier-krommen worden veel toegepast in True-type lettertypen. Juist dit maakt dit soort letters (bijna) oneindig schaalbaar.
• Derde-orde Bézier-krommen worden veelvuldig toegepast vanwege hun flexibiliteit en hun vermogen om vrijwel elke gebogen lijn te beschrijven. Toepassingen vind je in computerspellen, maar ook in technische software voor het maken van ruimtelijke modellen van constructies zoals CAD-pakketten en voor sterkteberekeningen met de Eindige Elementen Methode.
• Bézier-krommen van de derde orde worden ook gebruikt in CSS-animaties. Zie daarvoor het item Bézier-krommen gebruiken in CSS-animaties.
• Er is ook een 3D-versie van deze benadering, met ruimtelijke krommen. Dat betekent dan de krommen niet in een vlak liggen. De punten P hebben dan cöordinaten (x, y, z) in plaats van alleen (x, y).
• In 3D zijn er ook Bézier-oppervlakken mogelijk, zie de prent hieronder. De wiskunde die er achter zit is niet veel ingewikkelder dan voor de lijnen, alleen zijn de formules langer.
  Merk op dat er vanuit de punten P meerdere lijnen kunnen vertrekken. Die lijnen zijn evenwijdig aan het XY-vlak, het YZ-vlak of het ZX-vlak.

Een goede ingang voor het vinden van gedetailleerde informatie over Bézier-krommen is op Wikipedia.nl.

Uitgewerkte berekeningen van tweede en derde orde Bézierkrommen vind je in de items Bézier-kromme van de tweede orde berekenen resp. Bézier-kromme van de derde orde berekenen.