Numerieke Wiskunde XII:
Driepunts-interpolatie

Stel: je hebt een lijst meetpunten en je wilt weten wat de wilt weten wat een meetwaarde is die tussen twee punten in ligt. Om dat op te lossen zijn er diverse mogelijkheden, waaronder:
•  Bereken een regressielijn, polynoom, machtsfunctie of exponentiële functie met behulp van de kleinste kwadraten methode, en gebruik die om de gezochte 'meetwaarde' te vinden.
•  Bereken het 'exacte' polynoom door de meetpunten en gebruik die om de gezochte 'meetwaarde' te vinden. De graad van dit polynoom is één lager dan het aantal meetpunten.
•  Bereken een rechte lijn tussen de twee dichtstbijzijnde meetpunten en gebruik die om de gezochte 'meetwaarde' te vinden (Lineaire interpolatie).
•  Bereken een parabool door de drie dichtstbijzijnde meetpunten en gebruik die om de gezochte 'meetwaarde' te vinden (Driepunts-interpolatie).

• Op deze pagina gaat het over Driepunts-interpolatie, in het bijzonder over de Formule van Stirling.
  Deze formule is genoemd naar de Schotse wiskundige James Stirling (1692 - 1770). Zijn formule is in feite een Langrange-polynoom op drie steunpunten, waarbij de drie punten op gelijke afstanden h liggen (equidistant zijn). De formule beschrijft dus een parabool.
   
• Zie de figuur hiernaast. Er zijn drie punten: (x-1,y-1), (x0,y0) en (x1,y1).
• De x-coördinaat van het gezochte punt (x, y) moet tussen x-1 en x1 liggen.
• De x-coördinaat van het gezochte punt (x, y) ligt op x = x0 + s·h,
  waarbij h = x0 - x-1 = x1 - x0.
• Verder geldt: x-1 < x0 < x1.
• De y-coördinaat van het gezochte punt bereken je met:
  y = y0 + (y1 - y-1)·s/2 + (y1 - 2·y0 + y-1)·s2/2.
   
• Als x niet tussen x-1 en x1 ligt, is er sprake van extrapolatie. Dat is riskant, omdat de uitkomst onnauwkeurig wordt.
   

Een uitgewerkt voorbeeld
Vraag: geven is de set meetpunten (x,y) = (2,1); (3,2); (4,6); (5,10). Wat is de met driepunts-interpolatie bepaalde waarde voor x = 3.1 ?

Uitwerking: x = 3.1 ligt in tussen x = 2 en x = 4, maar ook tussen x = 3 en x = 5.
Omdat de waarde x = 3.1 dicht bij het meetpunt met x = 3 ligt, zal de berekening de hoogste nauwkeurigheid geven als we kiezen: (x-1, y-1) = (2,1), (x0, y0) = (3,3) en (x1, y1) = (4,5).
De meetwaarde voor x = 5 doet in deze berekening niet mee!

• Teken eerst de meetpunten (x-1,y-1), (x0,y0) en (x1,y1) in een grafiek.
• Bereken h = x0 - x-1 = x1 - x0 = 1
• Bereken s = (x - x0) / h = (3.1 - 3) / 1 = 0.1.
• Door y-1, y0 en y1 in te vullen in de formule van Stirling, krijg je een formule van de vorm: y = a + bS + cS2.
  In het voorbeeld komt dit uit op y = 2 + (6-1)/2*S + (6-2*2+1)/2*S2
= 2 + 2.5*S + 1.5*S2.
  Door deze formule in een beperkt aantal stappen te evalueren van x-1 tot x1 krijg je een aantal punten op de interpolatie-parabool. Je kunt de parabool nu in de grafiek tekenen.
• Bereken (met de Formule van Stirling) met s = 0.1 voor x = 3.1: y = 2.265.
• Teken het punt (x,y) = (3.1,2.265) in de grafiek. Het ligt precies op de parabool.
   
• Natuurlijk is er ook een applicatie om zelf met deze techniek aan de slag te gaan. Klik op de knop hiernaast.
   
• De code van de applicatie kun je downloaden om zelf aan door te ontwikkelen.
• Als je verder wilt werken aan de applicatie, download je de .zip-file en pak je hem uit. Je hebt dan meteen een werkend voorbeeld.

Bron:
Kammer, ir. R; Numerieke methoden voor Technici, § 3.3. 2^e druk 1977. Uitg. Agon-Elsevier, ISBN 90 10 01840 7.

Downloaden:
 
Druk op de knop:  File: voorb662.zip, 2439 bytes.