Perfecte getallen

Dit verhaal gaat over een merkwaardig fenomeen in de getallentheorie, waarvan het nut, anders dan het testen van de rekenkracht van CPU-chips, mij ontgaat.

Een perfect getal is een natuurlijk getal dat, zonder het getal zelf maar inclusief 1, gelijk is aan de som van die delers. Het meest eenvoudige voorbeeld is zes: 6 = 1 + 2 + 3. Het onderstaande tabelletje toont de eerste vier perfecte getallen.
Perfecte getallen worden ook wel volmaakte getallen genoemd.

De formules voor het berekening van een perfect getal G, in de kolom "ontbinding", kunnen worden gegeneraliseerd tot G = 2^n-1·(2ⁿ - 1). Noodzakelijk is dat (2ⁿ - 1) een priemgetal is.
Deze algemene formule is voor het eerst afgeleid door de Griekse wiskundige Euclides (323-283 v.Chr.)

Uit de regelmaat in de kolom "ontbinding" zou je kunnen afleiden dat het vijfde perfecte getal gelijk is aan 2⁸·(2⁹ - 1), maar dat is niet juist. De factor 2⁹ - 1 = 511 = 7 × 73. Dat is geen priemgetal.
Hetzelfde geldt voor 2¹⁰·(2¹¹ - 1). De factor 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89. Dat is ook geen priemgetal.

Het vijfde perfecte getal is 2¹²·(2¹³ - 1) = 33 550 336
Het zesde perfecte getal is 2¹⁶·(2¹⁷ - 1) = 8 589 869 056
Het zevende perfecte getal is 2¹⁸·(2¹⁹ - 1) = 137 438 691 328
Op het moment dat dit geschreven wordt (oktober 2025) is het vermoeden dat er oneindig veel perfecte getallen zijn. Het lijkt een beetje op het Vermoeden van Collatz: Je voelt op je klompen aan dat het waar is, maar een sluitend wiskundig bewijs is er nog niet voor gevonden.

Als de factor (2ⁿ - 1) een priemgetal is, wordt dat een Mersennegetal genoemd. Mersennegetallen zijn genoemd naar de Franse monnik en wiskundige Marin Mersenne(1568-1648), die deze getallen voor het eerst onderzocht.
Mersennegetallen spelen een belangrijke rol bij het vinden van perfecte getallen.
In 2017 is het vijftigste Mersennegetal gevonden. Dat is een getal van 23 249 425 cijfers. In 2025 is de juistheid ervan aangetoond.

Oneven perfecte getallen
Alle tot nu toe bekende perfecte getallen zijn even. Het is typerend voor wiskundigen en filosofen om de vraag te stellen: "Bestaan er ook perfecte getallen die oneven zijn?" Dat is een logische vraag.

Ik denk dat oneven perfecte getallen kunnen bestaan, tenzij de formule van Euclides: G = 2^n-1·(2ⁿ - 1), niet klopt.
Als de formule van Euclides wél juist is (en daar ga ik vanuit), worden perfecte getallen bepaald door het product van een macht van twee, die altijd even is, een Mersenne (priem-)getal, dat altijd oneven is. Dat laatste is een eigenschap van alle priemgetallen > 2. Het product van een even en een oneven getal is altijd oneven.
Op deze wijze geredeneerd mag het vreemd heten dat er tot nu toe alleen maar even perfecte getallen zijn gevonden…

Een andere mogelijkheid zou kunnen zijn dat er bij de berekeningen "ergens" underflow optreedt, waardoor significante cijfers verdwijnen en oneven getallen "ineens" even worden, en omgekeerd.

Varianten
De al eeuwenlange zoektocht naar perfecte getallen heeft geleid tot een aantal "afgeleiden" van perfecte getallen, zoals daar zijn:

• Bijna perfecte getallen.
• Bevriende getallen, waarbij ook 'Gebrekkig getal' en 'Overvloedig getal' moeten worden genoemd.
• Omgekeerde of reciproque van perfecte getallen.

De behandeling daarvan valt buiten het bestek van dit verhaal. De eerste bronvermelding geeft een beknopte beschrijving van deze dingen en links naar meer informatie.

Bronnen:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Perfect_getal. Bevat ook links naar de interessante geschiedenis van de zoektocht naar perfecte getallen,
https://www.wiskundemagie.be/perfecte-getallen/.
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Mersenne_primes_and_perfect_numbers.
https://www.mersenne.org/.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Bevriende_getallen.  
Dit is slechts een kleine bloemlezing uit de enorme hoeveelheid informatie die op internet over dit onderwerp is te vinden.