Repeterende breuken terug rekenen naar een "gewone" breuk

Sommige technisch-wetenschappelijke rekenmachines hebben een functie die een gebroken getal omzet in een "gewone" breuk van gehele getallen, met een teller, een deelstreep en een noemer. De methode is breuk = 1/gebroken getal, bijvoorbeeld:
gebroken getal = 0.5 ⇒ breuk = ¹/₂, of: gebroken getal = 0.875 ⇒ breuk = ⁷/₈.

Dit werkt prima als het gaat over gebroken getallen met eindig aantal decimalen. Een ander verhaal wordt het als het gaat om gebroken getallen met een oneindig aantal decimalen. Als zich daarin een zich oneindig herhalende reeks cijfers voordoet, is het mogelijk het gebroken getal terug te rekenen naar een gewone breuk.

Als een gebroken getal kan worden teruggerekend naar een gewone breuk wordt gesproken van een rationaal getal. Het aantal decimalen is eindig of oneindig. In het laatste geval is in de decimalen een reeks cijfers aanwijsbaar die zich steeds herhaalt, zonder dat daar andere cijfers tussen zitten. Dat wordt een repeterende breuk genoemd.
Irrationale getallen bestaan ook. Daar is geen geen herhalende reeks cijfers te vinden in de decimalen. Denk aan π (pi), Φ (phi) en e, het getal van Euler. Maar er zijn er veel meer, bijv. √2

Notatie:
Om aan te geven dat er sprake is van een repeterende breuk zijn meerdere notaties gangbaar. Onderstrepen of overstrepen van de herhalende reeks cijfers, puntjes boven die cijfers, een streepje door het eerste en het laatste cijfer van de reeks, enz.
Op deze pagina worden de herhalende cijfers overstreept.
¹/₃ = 0.33333… wordt ook geschreven als 0.3
0.123123… wordt ook geschreven als 0.123.

De rekenwijze
Deze rekenwijze beperkt zich tot de cijfers achter de komma. Aan het eind van dit verhaal wordt iets gezegd hoe het werkt als er cijfers voacute;oacute;r de komma zijn.

• Noem het gebroken getal x, dus x = 0. ….
• Kijk naar het aantal cijfers in de herhalende reeks en noem dat k.
  In x = 0.3 is k = 1.
  In x = 0.123 is k = 3.
• Vermenigvuldig x met 10^k.
• Trek de twee vergelijkingen van elkaar af, hieruit volgt de breuk. Meestal moet die worden vereenvoudigd.
  Zie onderstaande voorbeelden.

Voorbeeld 1

x = 0.3   ⇒ k = 1 ⇒ 10^k = 10.

De vergelijkingen zijn:
10x = 3.3333…
x = 0.3333…
 
10x - x = 9x = 3.3333… - 0.3333… = 3
 
⇒   x = 3/9 = 1/3.

Merk op dat de reeks herhalende cijfers oneindig is. Daarom is 10 × 0.3 gelijk aan 3.3.

Voorbeeld 2

x = 0.123   ⇒ k = 3 ⇒ 10^k = 1000.

De vergelijkingen zijn:
1000x = 123.123;
x = 0.123
 
1000x - x = 999x = 123.123 - 0.123 = 123
 
⇒   x = 123/999 = 41/333.

In bovenstaande voorbeelden begint de herhalende reeks cijfers direct na de komma. Bij repeterende breuken is dat niet noodzakelijk het geval, bijvoorbeeld in x = 0.83 = ⁵/₆.
Zie voorbeeld 3 en 4.)

Voorbeeld 3

x = 0.83   → Hier is een correctie nodig voor de eerste decimaal, zodat de herhalende cijfers direct na de komma komen. Hiervoor gebruiken we p, het aantal cijfers dat voor de komma wordt gehaald, en we rekenen door met p·x:
px = 8.3   ⇒ p = 1 ⇒ 10^p = 10.

Haal de cijfers voor de komma naar links:
 
10x - 8 =0.3   ⇒ k = 1 ⇒ 10^k = 10.
 
Verwerk k en los de vergelijkingen op:

100x - 80 = 3.3
 
100x - 80 - (10x - 8) = 90x - 72 = 3.3333… - 0.3333… = 3 ⇒ 90x = 75  
⇒ x = 75/90 = 5/6.

Voorbeeld 4

x = 0.083   → Hier is een correctie nodig voor de eerste twee decimalen:
px = 08.3   ⇒ p = 2 ⇒ 10^p = 100.

Haal de cijfers voor de komma naar links:
 
100x - 8 = 0.3   ⇒ k = 1 ⇒ 10^k = 10.
 
Verwerk k en los de vergelijkingen op:

100x - 8 = 0.3
 
1000x - 80 - (100x - 8) = 900x - 72 = 3.3333… - 0.3333… = 3   ⇒ 90x = 75   ⇒ x = 75/900 = 5/60 = 1/12.

Let op de overeenkomsten in de berekeningen.

De cijfers vóór de komma
De aanpak is door de decimalen om te rekenen naar een breuk en daarna het getal voor de komma in de breuk op te nemen.

Voorbeeld 5

Beschouw het getal: 45.83
Splits dit op in y = 45 en x = 0.83
 
x = 0.83 = 5/6, zie Voorbeeld 3.
De noemer van de breuk is 6. We schrijven nu: y = 45 = 45·6/6 = 270/6.
 
Daamee is 45.83 = 275/6.

Bronnen: internet, o.a. Wikipedia.