Numerieke wiskunde XV:
Differentiëren met de driepunts-formule

Als een functie alleen is gegeven in een tabel met x- en y-waarden, kun je de afgeleide van die functie in een punt niet zomaar bepalen. Je kunt dan een numerieke techniek gebruiken om de afgeleide te berekenen.
Er zijn daarvoor diverse mogelijkheden, waaronder:
•  Bereken een polynoom, machtsfunctie of exponentiële functie met behulp van de kleinste kwadraten methode en differntiëer die.
•  Bereken het 'exacte' polynoom door de meetpunten en diffentiëer die. De graad de afgeleide is twee lager dan het aantal meetpunten.
•  Gebruik een variant van Lineaire interpolatie. Dit staat bekend als tweepunts-differentiatie.
•  Gebruik een variant van Driepunts-interpolatie. Dit staat bekend als driepunts-differentiatie.

Deze technieken hebben een gemeenschappelijk nadeel: ze zijn geen van alle erg nauwkeurig.

• Op deze bladzijde gaat het over driepunts-differentiatie. Dat wil zeggen dat de afgeleide wordt bepaald op basis van een parabool, vergelijkbaar met de aanpak bij driepunts interpolatie. Ook hier wordt gebruik gemaakt van de Formule van Stirling.
• Zie de figuur hiernaast. Er zijn drie punten: (x-1,y-1), (x0,y0) en (x1,y1).
• Er moet gelden dat= x0 - x-1 = x1 - x0; de drie punten liggen dus op gelijke afstand van elkaar.
• De afgeleide wordt bepaald een van de drie punten (x-1,y-1), (x0,y0) en (x1,y1).
• Aangetoond kan worden dat de afgeleide in (x0,y0) minst onnauwkeurig is. Deze heeft dus de voorkeur.
   
• De formules voor de afgeleiden zijn:
  y'-1 = (-3·y-1 + 4·y0 - y1) / (x1 - x-1).
  y'0 = (y1 - y-1) / (x1 - x-1).
  y'1 = (y-1 - 4·y0 + 3·y1) / (x1 - x-1).
• Merk op dat x0 en y0 niet voorkomen in de formule voor y'0.

Een uitgewerkt voorbeeld
Vraag: geven is de set meetpunten (x,y) = (1,1); (2,3); (3,5); (4,7). Wat is de met de driepunts formule bepaalde afgeleide voor x = 3 ?

Uitwerking: x = 3 ligt in tussen x = 2 en x = 4.

• Omdat het resultaat in (x0,y0) het minst onnauwkeurig is, wordt deze berekend.
• We gebruiken dus: (x-1,y-1) = (2,3), (x0,y0) = (3,5) en (x1,y1) = (4,7).
• Teken eerst de drie meetpunten in een grafiek. Schets een parabool door de meetpunten.
• Dit ingevuld in bovenstaande formule voor y'0:
y'0 = (7 - 3) / (4 - 2) = 2.
• De raaklijn in (x0,y0) is: y = y0 + y'0·x.
   
• Opmerking: de formules voor y'-1 en y'1 gebruik je in de praktijk alleen bij het eerste resp. laatste element van de tabel met meetpunten.
   
• Natuurlijk is er ook een applicatie om zelf met deze techniek aan de slag te gaan. Klik op de knop hiernaast.
   
• De code van de applicatie kun je downloaden om zelf aan door te ontwikkelen.
• Als je verder wilt werken aan de applicatie, download je de .zip-file en pak je hem uit. Je hebt dan meteen een werkend voorbeeld.

Bron:
Kammer, ir. R; Numerieke methoden voor Technici, § 4.2. 2^e druk 1977. Uitg. Agon-Elsevier, ISBN 90 10 01840 7.

Downloaden:
 
Druk op de knop:  File: voorb665.zip, 2202 bytes.