Over verzamelingen

Bij het woord "verzamelingen" denk je al gauw aan dingen die mensen graag bijeen brengen. Van voetbalplaatjes tot dure auto's en kunstwerken aan toe. In mijn jonge jaren waren postzegels, munten, speldjes, suikerzakjes en sigarenbandjes populair.

Binnen een verzameling kan zich een grote diversiteit aan voorwerpen bevinden. Binnen een kunstcollectie kan klassieke en moderne kunst bestaan: klassieke schilderijen, klassieke beeldhouwkunst, moderne schilderijen en moderne beeldhouwkunst. Binnen deze ruwe verdeling zijn nog veel meer onderverdelingen mogelijk. Maar alle voorwerpen binnen deze collectie hebben één eigenschap gemeen: Het is kunst.

Als je binnen de kunstcollectie gaat kijken naar alleen schilderijen, dan zijn er twee gemeenschappelijke eigenschappen: Kunst en Schilderkunst. Deze schilderijen vormen een verzameling binnen een verzameling. Dat heet een deelverzameling.

Ook binnen deelverzamelingen kunnen deelverzamelingen bestaan. Als je binnen de deelverzameling gaat kijken naar alleen klassieke schilderijen (en dus de moderne schilderkunst uitsluit), zijn er binnen de hele kunstcollectie drie gemeenschappelijke eigenschappen: Kunst, Klassiek en Schilderkunst. Deze schilderijen vormen een verzameling binnen de deelverzameling en daarmee binnen de gehele verzameling (= de hele kunstcollectie).

De "dingen" binnen een verzameling worden elementen genoemd. Deelverzamelingen kunnen zelf ook als worden elementen worden beschouwd.
De elementen van een verzameling hebben allemaal minstens één gezamenlijke eigenschap:

Ze zijn GELIJKSOORTIG.

De hier beschreven kunstcollectie met zijn deelverzamelingen is een voorbeeld van de intuïtieve verzamelingenleer: De (deel)verzamelingen zijn eenvoudig te onderscheiden en te begrijpen.
Een krachtig hulpmiddel bij het beschrijven van dit soort verzamelingen is het Venn-diagram.

Rond verzamelingen is een hele wetenschap ontstaan, die verzamelingenleer wordt genoemd. Sinds het begin van de twintigste eeuw staat deze leer aan de basis van de gehele wiskunde. Daarvoor werden de deelgebieden van de wiskunde, zoals analyse, meetkunde een statistiek, beschouwd als gescheiden werelden.

Het idee van een verzameling gaat terug op de denkbeelden van Aristoteles. De verzamelingenleer begint rond 450 voor Christus met het werk van Zeno.

Een van de grondleggers van de moderne verzamelingenleer is de Russisch-Duitse wiskundige Georg Cantor (1845-1918), ook bekend van de fractal "Kam van Cantor". Zijn werk op gebied van de verzamelingenleer dateert van tussen 1874 en 1884.

Rond 1900 werd ontdekt dat Cantor's intuïtieve verzamelingenleer tot vreemde paradoxen kan leiden. Daar wordt een apart item aan gewijd.

Een bekende verzameling binnen de wiskunde is die van de complexe getallen, die de gehele getallenlijn omvat in twee onderling loodrechte richtingen. Complexe getallen bestaan uit een een reëel deel en een een imaginair deel, die elk een eigen getallenlijn hebben die loopt van en met −∞ tot en met +∞.

De volgende (deel)verzamelingen worden onderscheiden:

• Notatie: ℂ
  Complexe getallen.
• Notatie: ℝ
  Reële getallen. Dit is de reëele getallenlijn van ℂ, die loopt van en met −∞ tot en met +∞.
  ℝ bevat alle gebroken getallen, inclusief de getallen die niet zijn te schrijven als een breuk van gehele getallen. Voorbeelden van deze getallen zijn π(≈ 3.14) en Φ (≈ 1.61).
• Notatie: ℚ
  Rationale getallen. Dit is een deelverzameling van ℝ, die wordt gevormd door getallen die te beschrijven als deling van twee gehele getallen waarvan de noemer ongelijk is aan nul.
  Deze verzameling loopt van en met −∞ tot en met +∞.
• Notatie: ℤ
  Gehele getallen. Dit zijn getallen waarvan het deel achter de komma gelijk is aan nul.
  Ook deze verzameling loopt van en met −∞ tot en met +∞.
• Notatie: ℕ
  Natuurlijke getallen. Dat is de deelverzameling van ℤ die alleen de positieve getallen bevat, met of zonder de nul. Deze verzameling loop dus van 0 of 1 tot en met +∞.
  Er is discussie of nul wel of niet bij ℕ hoort. Bij dingen waarbij geteld wordt, zoals het aantal rode exemplaren in een ballenbak, heb je de nul nodig. Bij de beschouwingen over het Vermoeden van Collatz zou je de nul weg kunnen laten.

Als de verzameling B een deelverzameling is van de verzameling A, dan wordt dat genoteerd met: B ⊂ A. In bovenstaande opsomming van de (deel)verzamelingen op de getallen lijn kan dus geschreven worden als:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Bronnen: o.a. https://nl.wikipedia.org/wiki/Verzamelingenleer.

Opmerking:
 
Aan het begrip "oneindig", zoals dat in de wiskunde wordt gebruikt, wordt nog een apart item gewijd.